Đáp án:

$a) A = \dfrac{1 - 2 \sin \alpha . \cos \alpha}{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}$

$A = \dfrac{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2 \sin \alpha . \cos \alpha}{(\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)}$

$A = \dfrac{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2}{(\sin \alpha - \cos \alpha)(\sin \alpha + \cos \alpha)}$

$A = \dfrac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$ (điều phải chứng minh)

$b)$ Chia cả tử và mẫu của biểu thức $A$ (đã rút gọn ở câu a) cho $\cos \alpha$ (vì $\alpha \neq 45^\circ \Rightarrow \cos \alpha \neq 0$) ta được:
$A = \dfrac{\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \dfrac{\cos \alpha}{\cos \alpha}}{\dfrac{\sin \alpha}{\cos\alpha} + \dfrac{\cos \alpha}{\cos \alpha}} = \dfrac{\tan \alpha - 1}{\tan \alpha + 1}$

Thay giá trị $\tan\alpha = \frac{1}{3}$ vào biểu thức:

$A = \dfrac{\dfrac{1}{3} - 1}{\dfrac{1}{3} + 1} = \dfrac{-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{4}{3}} = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}$