`a)`

Xét `\Delta ABC` vuông tại `A` có:

`BC^2 = AB^2 + AC^2` (Đlý Pytago)

`BC^2 = 4^2 + 5^2`

`BC^2 = 16 + 25 = 41`

`BC = \sqrt{41} \approx 6,4 \text{ (cm)}`

Xét `\Delta ABC` vuông tại `A` có:

`\tan \hat{ABC} = (AC)/(AB) = (5)/(4) = 1,25`

`=> \hat{ABC} \approx 51^o`

`b)`

`1.`

Xét `\Delta ABH` và `\Delta CBA` có:

+ `\hat{AHB} = \hat{CAB} = 90^o`

+ `\hat{ABC}` chung

`=> \Delta ABH` $\sim$ `\Delta CBA` (g-g)

`2.`

Vì `\Delta ABH` $\sim$ `\Delta CBA` `(\text{cmt})`

`=> \hat{BAH} = \hat{ACB}` (`2` góc tương ứng)

Xét `\Delta ABH` và `\Delta CAH` có:

+ `\hat{AHB} = \hat{CHA} = 90^o`

+ `\hat{BAH} = \hat{ACH}` $(\text{cmt})$

`=> \Delta ABH` $\sim$ `\Delta CAH` (g-g)

`=> (AH)/(CH) = (HB)/(AH)`

`=> AH^2 = HB . HC`

`c)`

Xét tứ giác `ADHE` có:

+ `\hat{DAE} = 90^o` (do `\Delta ABC` vuông tại `A`)

+ `\hat{ADH} = 90^o` (do `D` là hình chiếu của `H` trên `AB`)

+ `\hat{AEH} = 90^o` (do `E` là hình chiếu của `H` trên `AC`)

`=> ADHE` là hình chữ nhật 

`=> AD = HE`; `AE = HD`

Xét `\Delta AHD` vuông tại `D` có:

`\hat{HAD} + \hat{AHD} = 90^o`

mà `\hat{BHD} + \hat{AHD} = \hat{AHB} = 90^o` (do `AH \bot BC` tại `H`)

`=> \hat{HAD} = \hat{BHD}` 

Xét `\Delta BDH` và `\Delta HDA` có:

+ `\hat{BDH} = \hat{HDA} = 90^o`

+ `\hat{BHD} = \hat{HAD}` `(\text{cmt})`

`=> \Delta BDH` $\sim$ `\Delta HDA` (g-g)

`=> (BD)/(HD) = (HD)/(AD)`

`=> HD^2 = BD . AD`

`=> HD^2 = BD . HE` (do `AD = HE`)

`=> BD = (HD^2)/(HE)` 

Xét `\Delta AHE` vuông tại `E` có:

`\hat{HAE} + \hat{AHE} = 90^o`

mà `\hat{CHE} + \hat{AHE} = \hat{AHC} = 90^o` (do `AH \bot BC` tại `H`)

`=> \hat{HAE} = \hat{CHE}`

Xét `\Delta CEH` và `\Delta HEA` có:

+ `\hat{CEH} = \hat{HEA} = 90^o`

+ `\hat{CHE} = \hat{HAE}` `(\text{cmt})`

`=> \Delta CEH` $\sim$ `\Delta HEA` (g-g)

`=> (CE)/(HE) = (HE)/(AE)`

`=> HE^2 = CE . AE`

`=> HE^2 = CE . HD` (do `AE = HD`)

`=> CE = (HE^2)/(HD)` 

Ta có:

+ `HE^3 . BD = HE^3 . (HD^2)/(HE) = HE^2 . HD^2`

+ `HD^3 . CE = HD^3 . (HE^2)/(HD) = HD^2 . HE^2`

`=> HE^3 . BD = HD^3 . CE` (đpcm)

$\color{#FF0000}{♡^♡}\color{#FF7F00}{𝖘}\color{#FFD700}{𝖒}\color{#00FF00}{𝖕}\color{#00BFFF}{9}\color{#0000FF}{9}\color{#9400D3}{9}\color{#FF0000}{♡^♡}$