`a)`

`1.`

Vì `BE` là đường cao của `\Delta ABC`

`=> BE \bot AC`

hay `BH \bot AC`

mà `CD \bot AC` `(\text{gt})`

`=> BH //// CD` `(1)`

Vì `CF` là đường cao của `\Delta ABC`

`=> CF \bot AB`

hay `CH \bot AB`

mà `BD \bot AB` `(\text{gt})`

`=> CH //// BD` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)`

`=> BHCD` là hình bình hành

`2.`

Xét hình bình hành `BHCD` `(\text{cmt})` có:

+ `M` là trung điểm `BC` $(\text{gt})$

+ `HD` cắt `BC` tại `M`

`=> M` là trung điểm `HD`

Xét `\Delta ADH` có:

+ `O` là trung điểm `AD` `(\text{gt})`

+ `M` là trung điểm `HD` `(\text{cmt})`

`=> OM` là đg trung bình của `\Delta ADH`

`=> OM //// AH`, `OM = (1)/(2) AH`

`=> AH = 2OM`

`b)`

Xét `\Delta ABC` có:

+ `BE` là đg cao $(\text{gt})$

+ `CF` là đg cao $(\text{gt})$

+ `BE` cắt `CF` tại `H`

`=> H` là trực tâm `\Delta ABC`

`=> AH \bot BC`

mà `OM //// AH` `(\text{cmt - a})`

`=> OM \bot BC`

Ta có: `KL \bot BC` `(\text{gt})`

mà `OM \bot BC` $(\text{cmt})$

`=> KL //// OM` `(3)`

Vì `OK //// BC` `(\text{gt})`

`=> OK //// LM` (do `L, M \in BC`) `(4)`

Từ `(3)` và `(4)`

`=> OKLM` là hình bình hành 

mà `\hat{KLM} = 90^o` (do `KL \bot BC`)

`=> OKLM` là hình chữ nhật

`=> KL = OM`

mà `AH = 2OM` `(\text{cmt - a})`

`=> AH = 2KL` (đpcm)

`c)`

Vì `I` là trung điểm `AH`

`=> AI = IH = (1)/(2) AH`

mà `KL = (1)/(2) AH` `(\text{cmt - b})`

`=> AI = IH = KL` `(5)`

Ta có: `AH \bot BC` và `KL \bot BC`

`=> AH //// KL`

`=> AI //// KL`; `IH //// KL` `(6)`

Từ `(5)` và `(6)`

`=> AILK` là hình bình hành; `IHLK` là hình bình hành

`=> IL //// AK`

hay `IL //// AC`

Xét `\Delta BIL` có:

+ `IH \bot BL` (do `AH \bot BC`) `=> IH` là đg cao

+ `BH \bot IL` (do `BE \bot AC`; `IL //// AC`) `=> BH` là đg cao

+ `IH` cắt `BH` tại `H`

`=> H` là trực tâm `\Delta BIL`

`=> LH \bot BI` `(7)`

mà `IHLK` là hình bình hành $(\text{cmt})$

`=> HL //// IK` `(8)`

Từ `(7)` và `(8)`

`=> BI \bot IK` tại `I` (đpcm)