Vì `\Delta ABC` cân tại `A`

`=> \hat{ABC} = \hat{ACB} = (180^o - \hat{BAC})/(2) = (180^o - 108^o)/(2) = 36^o` 

Vẽ `D \in BC` sao cho `\hat{CAD} = 36^o`

`=> \hat{BAD} = \hat{BAC} - \hat{CAD} = 108^o - 36^o = 72^o`

Xét `\Delta ABD` có:

`\hat{ADB} = 180^o - (\hat{ABC} + \hat{BAD}) = 180^o - (36^o + 72^o) = 72^o`

`=> \hat{ADB} = \hat{BAD} = 72^o`

`=> \Delta ABD` cân tại `B`

`=> BD = BA = AC` (do `\Delta ABC` cân tại `A`) 

Xét `\Delta ADC` có:

`\hat{CAD} = \hat{ACB} = 36^o`

`=> \Delta ADC` cân tại `D`

`=> AD = CD`

Xét `\Delta CAD` và `\Delta CBA` có:

+ `\hat{ACB}` chung

+ `\hat{CAD} = \hat{ABC} = 36^o`

`=> \Delta CAD` $\sim$ `\Delta CBA` (g-g)

`=> (CA)/(CB) = (CD)/(CA)`

`=> CA^2 = CD . CB` $(*)$

Thay `CD = BC - BD = BC - AC` (do `BD = AC`) vào $(*)$ ta được:

`AC^2 = (BC - AC) . BC`

`AC^2 = BC^2 - AC . BC`

`1 = ((BC)/(AC))^2 - (BC)/(AC)`

`((BC)/(AC))^2 - (BC)/(AC) - 1 = 0`

Đặt `x = (BC)/(AC)` (ĐK: `x > 0`)

`=> x^2 - x - 1 = 0`

`=> (x - (1)/(2))^2 - (5)/(4) = 0`

`=> (x - (1)/(2))^2 = (5)/(4)`

`=> x - (1)/(2) = (\sqrt{5})/(2)` (vì `x > 0`)

`=> x = (1 + \sqrt{5})/(2)` (TMĐK)

hay `(BC)/(AC) = (1 + \sqrt{5})/(2)`

$\color{#FF0000}{♡^♡}\color{#FF7F00}{𝖘}\color{#FFD700}{𝖒}\color{#00FF00}{𝖕}\color{#00BFFF}{9}\color{#0000FF}{9}\color{#9400D3}{9}\color{#FF0000}{♡^♡}$