Đáp án:

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \textbf{Câu}&\textbf{15}&\textbf{16}&\textbf{17}&\textbf{18}&\textbf{19}&\textbf{20} \\  \hline \textbf{Đáp án}&\textbf{A}&\textbf{D}&\textbf{A}&\textbf{C}&\textbf{B}&\mathbf{\dfrac{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \boldsymbol{\sin \alpha}}}{2 \boldsymbol{\cos \alpha}}} \\ \hline \end {array}$

Giải thích các bước giải:

Câu $\textbf{15}:$

Ta có: $AM, BN$ lần lượt là các trung tuyến của $\triangle ABC$`

$\Rightarrow \begin {cases}\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right) \\ \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} \end {cases}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN} = \dfrac{1}{2} \left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right)\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\right)$

$\Rightarrow 4\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN} =\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AB}\right)$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN} = AC^2 - 2AB^2 - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN} = b^2 - 2c^2 - bc \cos A$

Mà theo hệ quả của định lý cosine, ta có: 

$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\Rightarrow 4\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN} = b^2 - 2c^2 -  \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2} = \dfrac{a^2 + b^2 -5c^2}{2}$

Do $a^2 + b^2 = 5c^2$ nên $4\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN} = \dfrac{5c^2 - 5c^2}{2} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BN} = 0$

$\Rightarrow AM \bot BN$

$\Rightarrow (AM, BN) = 90^\circ$

$\Rightarrow \textbf{A}$

Câu $\textbf{16}:$

Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $BC, AC, AB$

Đặt $\widehat{BAC} = \widehat{A}, \widehat{ABC} = \widehat{B}, \widehat{ACB} = \widehat{C}$

$\Rightarrow  \begin {cases} m_a^2 = AB^2 + BM^2 - 2AB \cdot BM \cos B \\ m_b^2 = BC^2 + CN^2 - 2BC \cdot CN \cos C \\ m_c^2 = AC^2 + AP^2 - 2AC \cdot AP \cos A \end {cases}$

Mà $BM = \dfrac{BC}{2}, CN = \dfrac{AC}{2}, AP = \dfrac{AB}{2}$

$\Rightarrow  \begin {cases} m_a^2 = AB^2 + \dfrac{BC^2}{4} - AB \cdot BC \cos B \\ m_b^2 = BC^2 + \dfrac{AC^2}{4} - BC \cdot AC \cos C \\ m_c^2 = AC^2 + \dfrac{AB^2}{4} - AC \cdot AB \cos A \end {cases}$

$\Rightarrow m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \dfrac{5}{4}\left(AB^2 + AC^2 + BC^2\right) - \left(AB \cdot BC \cos B + BC \cdot AC \cos C + AC \cdot AB \cos A\right)$

$\Rightarrow m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \dfrac{5}{4}\left(a^2 + b^2 + c^2\right) - \left(ac \cos B + ab \cos C + bc \cos A\right)$

Áp dụng hệ quả của định lý cosine, ta có:

$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

$\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$\Rightarrow m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \dfrac{5}{4}\left(a^2 + b^2 + c^2\right) - \left(\dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2} + \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2} + \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2}\right)$

$\Leftrightarrow m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \dfrac{5}{4}\left(a^2 + b^2 + c^2\right) - \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{2} = \dfrac{3}{4}\left(a^2 + b^2 + c^2\right)$

$\Rightarrow (I)$ đúng

Do $G$ là trọng tâm của $\triangle ABC$

$\Rightarrow \begin {cases} GA = \dfrac{2}{3}m_a \\ GB = \dfrac{2}{3}m_b \\ GC = \dfrac{2}{3}m_c \end {cases}$

$\Rightarrow GA^2 + GB^2 + GC^2= \dfrac{4}{9}\left(m_a^2 +m_b^2 + m_c^2\right) = \dfrac{1}{3}\left(a^2 +b^2 + c^2\right)$

$\Rightarrow (II)$ đúng

$\Rightarrow \textbf{D}$

Câu $\textbf{17}:$

Áp dụng định lý cosine, ta có:

$BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2AC \cdot AB \cos A$

$\Rightarrow BC^2 = 6^2 + 3^2 -  2 \cdot 6 \cdot 3 \cos 60^\circ$

$\Leftrightarrow BC^2 = 36 +9 - 36 \cdot \dfrac{1}{2} = 27$

$\Rightarrow BC = 3\sqrt{3}$

Áp dụng định lý sine, ta có:

$\dfrac{BC}{\sin A} = 2R$

$\Rightarrow R = \dfrac{BC}{2 \sin A} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2 \sin 60^\circ} = \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$

$\Rightarrow \textbf{A}$

Câu $\textbf{18}:$

Áp dụng định lý sine, ta có:

$\dfrac{BC}{\sin A} = 2R$

$\Rightarrow R = \dfrac{BC}{2 \sin A} = \dfrac{a}{2 \sin 60^\circ} = \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow \textbf{C}$

Câu $\textbf{19}:$

Gọi $p$ là nửa chu vi của $\triangle ABC$

$\Rightarrow p = \dfrac{3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} + 9}{2} = \dfrac{9\sqrt{3} + 9}{2}$

$\Rightarrow S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p - BC)(p - AC)(p - AB)}$

$\phantom{\Rightarrow S_{\triangle ABC}}= \sqrt{\left(\dfrac{9\sqrt{3} + 9}{2}\right)\left(\dfrac{9 - 3\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{9 + 3\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{9\sqrt{3} - 9}{2}\right)}$

$\phantom{\Rightarrow S_{\triangle ABC}}= \dfrac{27\sqrt{3}}{2}$

Do $\triangle ABD$ và $\triangle ABC$ có chung đường cao hạ từ $A$ và hai đáy $BD, BC$ cùng nằm trên $1$ đường thẳng

$\Rightarrow \dfrac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}} = \dfrac{BD}{BC} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow S_{\triangle ABD} = \dfrac{27\sqrt{3}}{4}$

Áp dụng định lý cosine, ta có:

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2AB \cdot BD \cos \widehat{ABC}$

Mà $BD = \dfrac{BC}{2} = 3\sqrt{3}$

$\Rightarrow AD^2 = AB^2 + 27 - 2AB \cdot 3\sqrt{3} \cos \widehat{ABC}$

$\Rightarrow AD^2 = 27 + 27 - 3\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} \cos \widehat{ABC} = 54 - 54 \cos \widehat{ABC}$

Mặt khác, $\cos \widehat{ABC} = \dfrac{BC^2 + AB^2 - AC^2}{2BC \cdot AB} = \dfrac{108 + 27 - 81}{2 \cdot 6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow AD^2 = 54 - 54 \cdot \dfrac{1}{2} = 27$

$\Rightarrow AD = 3\sqrt{3}$

$\Rightarrow R_{\triangle ABD} = \dfrac{AB \cdot BD \cdot AD}{4S_{\triangle ABD}} = \dfrac{3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}}{27\sqrt{3}} = 3$

$\Rightarrow \textbf{B}$

Câu $\textbf{20}:$

Ta có: $\triangle BB'C$ vuông tại $B'$

$\Rightarrow \widehat{ACB} = \widehat{B'CB} = 90^\circ - \alpha$

Áp dụng định lý cosine, ta có:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cos \widehat{ACB}$

$\Rightarrow AB^2 = b^2 + a^2 - 2ab \cos \widehat{ACB}$

Do $\widehat{ACB} = 90^\circ - \alpha$ nên $\cos \widehat{ACB} = \sin \alpha$

$\Rightarrow AB = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \sin \alpha}$

Áp dụng định lý sine, ta có:

$2R_{\triangle ABC} = \dfrac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

$\Rightarrow R_{\triangle ABC} = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \sin \alpha}}{2\sin \widehat{ACB}}$

Mà $\widehat{ACB} = 90^\circ - \alpha \Rightarrow \sin \widehat{ACB} = \cos \alpha$

$\Rightarrow R_{\triangle ABC} = \dfrac{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \sin \alpha}}{2 \cos \alpha}$