Bài 2:

a)

Có: MN vuông góc với CH(gt); AB vuông góc với CH(gt) ` => MN////AB => MN////HI `

Lại có: MI vuông góc với AB(gt); CH vuông góc AB(gt) ` => MI////CH => MI////NH `

` => ` MNHI là hình bình hành

Mà ` hat(NHI) = 90^o `(do CH vuông góc với AB)

` => ` MNHI là hình chữ nhật 

` => HI = MN `(1)

Xét ` triangleABM ` có:

BO là đường phân giác ` hat(ABM) `

` => (BO)/(OM) = (AB)/(AM) `(2)

Xét ` triangleBMI ` có

` OH////MI `(cùng vuông góc với AB) 

Áp dụng định lý Thales ta được:

` (BO)/(OM) = (BH)/(HI) `(3)

Từ (2) và (3)

` => (BH)/(HI) = (AB)/(AM) `

` => (HI)/(BH) = (AM)/(AB) `

Từ (1) ` => (MN)/(BH) = (AM)/(AB) `(đpcm)

b)

Xét ` triangleBCH ` vuông tại H có:

` sin hat(HCB) = (BH)/(BC) => BC*sin hat(HCB) = BH `(4)

Có: AP vuông góc AC 

` => hat(PAC) = 90^o `

` => hat(PAB) = 90^o - hat(BAC) `

` => sin hat(PAB) = sin(90^o - hat(BAC)) = cos hat(BAC) `

Xét ` triangleAHC ` vuông tại H có:

` cos hat(BAC) = (AH)/(AC) `

Lại có: ` (AH)/(BH) = (AH)/(AB) `(cm phần a)

` => (AH)/(AC) = (BH)/(AB) `

` => sin hat(PAB) = (BH)/(AB) `

` => AB*sin hat(PAB) = BH `(5)

Từ (4) và (5) ` => AB*sin hat(PAB) = BC*sin hat(HCB) `(đpcm)