Giải thích các bước giải:

$a)$ Xét tứ giác $AMHN$ ta có:

$\widehat{MAN} = 90^{\circ}$ (vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$)

$\widehat{AMH} = 90^{\circ}$ (vì $HM \perp AB$ tại $M$)

$\widehat{ANH} = 90^{\circ}$ (vì $HN \perp AC$ tại $N$)

$\Rightarrow$ Tứ giác $AMHN$ có 3 góc vuông ($\widehat{MAN} = \widehat{AMH} = \widehat{ANH} = 90^\circ$)

Do đó $AMHN$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

$b)$ Xét tứ giác $AHIC$, ta có:

$E$ là trung điểm của đoạn thẳng $HC$ (theo gt)

$E$ là trung điểm của đoạn thẳng $AI$ (vì trên tia đối của $AE$ lấy điểm $I$ sao cho $E$ là trung điểm của $AI$)

$\Rightarrow$ Tứ giác $AHIC$ có hai đường chéo $HC$ và $AI$ cắt nhau tại trung điểm $E$ của mỗi đường

Do đó tứ giác $AHIC$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Ta có tiếp: Vì $AHIC$ là hình bình hành (chứng minh trên) 

Theo tính chất của hình bình hành ta có:

$HI // AC$  (1)

Mặt khác, từ $a)$ tứ giác $AMHN$ là hình chữ nhật nên ta có các cạnh đối song song:

$MH // AN$

Mà $N$ thuộc đoạn thẳng $AC$ nên:

$\rightarrow MH // AC$  (2)

Từ (1) và (2) qua điểm $H$ ta có cả hai đường thẳng $HI$ và $MH$ cùng song song với $AC$.

Theo tiên đề Euclid về đường thẳng song song, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ vẽ

được một đường thẳng duy nhất song song với đường thẳng đó.

Vậy ba điểm $M, H, I$ thẳng hàng (đpcm)