Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

`x^2 + y^3 = (x + y)^2 + (xy)^2`

`x^2 + y^3 = x^2 + 2xy + y^2 + x^2 y^2`

`y^3 = 2xy + y^2 + x^2 y^2`

`<=> y^3 - y^2 = 2xy + x^2 y^2`

`<=> y^2 (y - 1) = xy (2 + xy)`

Vì `x, y` là các số nguyên dương `(x, y >= 1)`, chia cả hai vế cho `y > 0` ta được:

`y (y - 1) = x (2 + xy) (1)`

`TH1: y = 1`

Thay `y = 1` vào `(1)`:

`1 . (1 - 1) = x . (2 + x . 1)`

`0 = x(2 + x)`

Vì `x >= 1` nên `x(2 + x) >= 3 > 0` (vô lý)

Do đó `y = 1` không cho nghiệm nguyên dương

`TH2: y >= 2`

`y (y - 1) = x (2 + xy)`

`y (y - 1) = 2x + x^2 y`

`<=> y^2 - y - x^2 y = 2x`

`<=> y (y - 1 - x^2) = 2x (2)`

Vì `x >= 1` và `y >= 2` nên `2x > 0`

Do đó `VT` của `(2) > 0`

`=> y - 1 - x^2 > 0`

`<=> y - 1 - x^2 >= 1` (vì `x, y` là các số nguyên)

`<=> y >= x^2 + 2`

Vì `y - 1 - x^2 >= `1 và `y > 0`, từ `(2)` ta có:

`2x = y (y - 1 - x^2) >= y . 1 = y`

`=> 2x >= y`

Ta có `y >= x^2 + 2` và `2x >= y`

`=> 2x >= x^2 + 2`

`<=> x^2 - 2x + 2 <= 0`

`<=> (x - 1)^2 + 1 <= 0`

Vì `(x - 1)^2 >= 0` với mọi `x`

`=> (x - 1)^2 + 1 >= 1 > 0` với mọi `x`

`=>` Bất đẳng thức `(x - 1)^2 + 1 <= 0` là vô lý

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương `x, y`