$\textbf{(a)}$

Đây chính là bài $4(277)$ TTT2 năm 2026

Lấy điểm $K$ sao cho $A$ là trung điểm $BK$, khi đó ta có $AM \parallel CF$

Do đó $XA \perp CK, KA\perp CX,$ từ đó ta có $A$ là trực tâm $\Delta CXK$

$$\Rightarrow CA \perp XK \Rightarrow BY \parallel XK$$

Từ đó dễ dàng có $AX=AY$

$\textbf{(b)}$

Gọi $N$ đối xứng với $H$ qua $A$

Khi đó $NXHY$ là hình bình hành nên dễ có $N$ là trực tâm $\Delta XYZ$

Khi đó ta có

$$ ZN \parallel AM, \quad ZH \parallel AS, \quad HN \parallel MS$$

Đồng thời $A$ là trung điểm $HN$ nên $ZA$ đi qua trung điểm $SM$

$\textbf{(c)}$

Áp dụng Menelaus cho $\Delta XYH$ ta có

$$ \dfrac{XF}{FH} \cdot \dfrac{ BH}{BY} \cdot \dfrac{ YA}{AX}=1$$

Mà $AX=AY$ nên $\dfrac{  BH}{FH} = \dfrac{ BY}{XF}$

CMTT ta có $\dfrac{ CH}{EH} = \dfrac{ CX}{EY}$

Lại có $$\Delta BHF \backsim \Delta CHE(g-g) \Rightarrow \dfrac{BH}{CH} = \dfrac{ FH}{EH}$$

Từ đó suy ra 

$$\dfrac{ BX}{CX} = \dfrac{ XF}{EY} \cdot \dfrac{BH}{CH} \cdot \dfrac{EH}{FH} = \dfrac{ XF}{EY}$$

Ta có $$\widehat{ JXC} = \widehat{ JYB}, \quad \widehat{ XJY} =\widehat{ XHY} = \widehat{ BHC} =\widehat{ BJC}$$

$$\Rightarrow \Delta JXC \backsim \Delta JYB(g-g)\Rightarrow \dfrac{JY}{JX} = \dfrac{BY}{CX}$$ 

Do đó $\dfrac{ JY}{JX} =\dfrac{ XF}{ EY}$

Ta có $$\widehat{ IXF} = \widehat{ IYE}, \quad \widehat{ XFI} = \widehat{ IEY}$$

$$\Rightarrow \Delta IXF \backsim IYE (g-g)$$

Do đó $\dfrac{ IX}{IY} = \dfrac{ XF}{EY}$

Từ đó ta có $$\dfrac{ IX}{IY} = \dfrac{XF}{EY} = \dfrac{ BX}{CX}= \dfrac{ JY}{JX}$$

Do đó $IJ \parallel XY$, suy ra $IX=JY$ nên $XYJI$ là hình thang cân

Từ đó ta có đpcm