`\frac{9-2x}{\sqrt{4-x}}+\frac{4x+3}{\sqrt{4x+1}}=\frac{15}{2}`

`\frac{2(4-x)+1}{\sqrt{4-x}}+\frac{4x+1+2}{\sqrt{4x+1}}=\frac{15}{2}`

`2\sqrt{4-x}+\frac{1}{\sqrt{4-x}}+\sqrt{4x+1}+\frac{2}{\sqrt{4x+1}}=\frac{15}{2}`

Đặt: `a=\sqrt{4-x},b=\sqrt{4x+1}(a>0,b>0)`

Ta có hệ:

$\begin{cases} (2a+b) + \frac{2a+b}{ab} = \frac{15}{2} \\ 4a^2 + b^2 = 4(4-x) + (4x+1) = 17 \end{cases}$

Đặt: $m=2a+b,n=2ab(m>0,n>0)$

Có:

$\begin{cases} m+\frac{2m}{n}=\frac{15}{2} (1)\\ m^2-2n=17⇒n=\frac{m^2-17}{2} \end{cases}$

Thế $n$ vào $(1)$ ta được:
$m+\frac{4m}{m^2-17}=\frac{15}{2}$

$⇔ (m-5)(2m^2-5m-51)=0$

TH1: $m-5=0$

$⇒m=5$

TH2: $2m^2-5m-51=0$

$⇒ m=\frac{5+\sqrt{433}}{4}>6$

Do $m^2=(2a+b)^2≤(1^2+1^2)(4a^2+b^2)=34$

$⇒m≤\sqrt{34}<6$

$⇒$ Loại

Với $m=5⇒n=4$

Ta có:

$\begin{cases} 2a+b=5\\ 2a.b=4 \end{cases}$

Theo Viete đảo, $2a$ và $b$ là nghiệm của $t^2-5t+4=0$

TH1: $2a = 4$ và $b = 1 \implies a = 2$ và $b = 1$

$⇔ \sqrt{4-x} = 2 \implies 4 - x = 4 \implies x = 0 \text{ (t/m)}$

TH2: $2a = 1$ và $b = 4 \implies a = \frac{1}{2}$ và $b = 4$

$⇔ \sqrt{4-x} = \frac{1}{2} \implies 4 - x = \frac{1}{4} \implies x = \frac{15}{4} \text{ (t/m)}$

Vậy $S=$ {$0;\frac{15}{4}$}

@tuan789