Giải thích các bước giải:

$a)$ Xét $\triangle HAB$ ta có:

Vì $M$ là trung điểm của $HA$ và $N$ là trung điểm của $HB$ (theo giả thiết) nên:

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $HAB$

$\rightarrow MN = \dfrac{1}{2} AB \Rightarrow \dfrac{MN}{AB} = \dfrac{1}{2}$  (1)

Xét $\triangle HBC$ ta có:

Vì $N$ là trung điểm của $HB$ và $P$ là trung điểm của $HC$ (theo giả thiết) nên: 

$\Rightarrow NP$ là đường trung bình của tam giác $HBC$

$\rightarrow NP = \dfrac{1}{2} BC \Rightarrow \dfrac{NP}{BC} = \dfrac{1}{2}$  (2)

Xét $\triangle HAC$ ta có:

Vì $M$ là trung điểm của $HA$ và $P$ là trung điểm của $HC$ (theo giả thiết) nên: 

$\Rightarrow MP$ là đường trung bình của tam giác $HAC$

$\rightarrow MP = \dfrac{1}{2} AC \Rightarrow \dfrac{MP}{AC} = \dfrac{1}{2}$  (3)

Từ (1) ; (2) và (3) ta được: $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{NP}{BC} = \dfrac{MP}{AC} = \dfrac{1}{2}$

Do đó $\triangle MNP \sim \triangle ABC$ (c - c - c)

$\Rightarrow k = \dfrac{MN}{AB} = \dfrac{1}{2}$

$b)$ Vì $\triangle MNP \sim \triangle ABC$ với tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{1}{2}$ nên

Ta có hệ thức: $\dfrac{P_{MNP}}{P_{ABC}} = k = \dfrac{1}{2}$

Dựa vào đề bài ta được:

$\dfrac{P_{MNP}}{50} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow P_{MNP} = \dfrac{50}{2} = 25cm$