Cho $a,b,c,d \in \mathbb{R^+}, a+b+c+d=4$. Chứng minh
$$ \dfrac{1}{a^2+1} + \dfrac{1}{b^2+1} + \dfrac{1}{c^2+1} + \dfrac{1}{d^2+1} \geqslant 2 $$
ghi luôn cả c

Question

Cho $a,b,c,d \in \mathbb{R^+}, a+b+c+d=4$. Chứng minh
$$ \dfrac{1}{a^2+1} + \dfrac{1}{b^2+1} + \dfrac{1}{c^2+1} + \dfrac{1}{d^2+1} \geqslant 2 $$
ghi luôn cả cái hướng đi với khi nào dùng nó nha

hoangbachnguyen10 · Answer

Đáp án+Giải thích các bước giải:
`1/(a^2 + 1) = (a^2 + 1 - a^2)/(a^2 + 1) = 1 - a^2/(a^2 + 1)`
Áp dụng bđt cauchy cho `2` số thực dương ta đc:
`a^2 + 1 >= 2a`
`-> a^2/(a^2 + 1) 
`-> -(a^2/(a^2 + 1)) >= -a/2`
`-> 1 - a^2/(a^2 + 1) >= 1 - a/2`
hay `1/(a^2 + 1) >= 1 - a/2`
Tương tự `1/(b^2 + 1) >= 1 - b/2`
`1/(c^2 + 1) >= 1 - c/2`
`1/(d^2 + 1) >= 1 - d/2`
`-> 1/(a^2 + 1) + 1/(b^2 + 1) + 1/(c^2 + 1) + 1/(d^2 + 1)`
`>= 1 - a/2 + 1 - b/2 + 1 - c/2 + 1 - d/2`
`= 4 - 1/2 . (a + b + c + d)`
`= 2` (đpcm)
Dấu "`=`" xảy ra khi `a = b = c = 1`

Divinity · Answer

Nhận thấy điểm rơi là `a=b=c=d=1` nên ở mẫu có thể dùng BĐT Cauchy, nhưng nếu dùng ngay thì sẽ ngược dấu
Do đó, cần sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu để đổi chiều BĐT, từ đó có thể sử dụng Cauchy ở dưới mẫu
Cách làm:
`1/{a^2+1}`
`={a^2+1}/{a^2+1}-a^2/{a^2+1}`
`=1-a^2/{a^2+1}`
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương `a^2` và `1`:
`a^2+1>=2a`
`->a^2/{a^2+1}
`->1-a^2/{a^2+1}>=1-a/2`
Suy ra:
`VT>=(1+1+1+1)-(a/2+b/2+c/2+d/2)`
`VT>=4-{a+b+c+d}/2`
`VT>=4-2`
`VT>=2` (đpcm)

Cho $a,b,c,d \in \mathbb{R^+}, a+b+c+d=4$. Chứng minh

\[ \dfrac{1}{a^2+1} + \dfrac{1}{b^2+1} + \dfrac{1}{c^2+1} + \dfrac{1}{d^2+1} \geqslant 2 \]

ghi luôn cả cái hướng đi với khi nào dùng nó nha

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tìm kiếm với hình ảnh

Hãy đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí!

Lưu vào

Cho $a,b,c,d \in \mathbb{R^+}, a+b+c+d=4$. Chứng minh \[ \dfrac{1}{a^2+1} + \dfrac{1}{b^2+1} + \dfrac{1}{c^2+1} + \dfrac{1}{d^2+1} \geqslant 2 \] ghi luôn cả cái hướng đi với khi nào dùng nó nha

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Bạn muốn hỏi điều gì?

Lý do báo cáo vi phạm?

Cho $a,b,c,d \in \mathbb{R^+}, a+b+c+d=4$. Chứng minh

\[ \dfrac{1}{a^2+1} + \dfrac{1}{b^2+1} + \dfrac{1}{c^2+1} + \dfrac{1}{d^2+1} \geqslant 2 \]

ghi luôn cả cái hướng đi với khi nào dùng nó nha