Đáp án:

$a)$ Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên ta có $AB // CD$ 

$\rightarrow \widehat{ABH} = \widehat{BDC}$

Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H$ và $\Delta BCD$ vuông tại $C$ ta có:

$\widehat{AHB} = \widehat{BCD} = 90^\circ$

$\widehat{ABH} = \widehat{BDC}$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta BCD$ (g-g).

$b)$ Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\rightarrow AD^2 = DH \cdot DB$

$c)$ Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD = BC = 6cm$

Áp dụng định lý Pythagore vào $\Delta ABD$ vuông tại $A$ ta được:

$BD^2 = AB^2 + AD^2$

$\rightarrow BD^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$\Rightarrow BD = 10cm$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABD$ vuông với đường cao $AH$ ta được:

$AH . BD = AB \cdot AD$

$\rightarrow AH = \dfrac{AB . AD}{BD}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{8 . 6}{10} = \dfrac{48}{10} = 4,8cm$

Vậy $AH = 4,8cm$