Ta có:

`x^2+y^3=(x+y)^2+(xy)^2` (`x,y ∈ Z^+`)

`⇔` `x^2+y^3=x^2+2xy+y^2+x^2y^2`

`⇔` `y^3=y^2+2xy+x^2+y^2`

Vì `y ∈ Z^+` `=>` `y>0` , chia `2` vế cho `y` ta được

`y^2=y+2x+x^2y`

`=>` `2x=y^2-y-x^2y`

`=>` `y(y-1-x^2)=2x`  (*)

Vì `x,y ∈ Z^+` `=>` `2x,y >0`

Từ (*) suy ra `y-1-x^2>0` 

Mà `x,y` nguyên nên `(y-1-x^2)≥1`  

`=>` `y≥x^2+2` `(1)`

Nhân cả `2` vế với `y` có:

`y(y-1-x^2)≥y` 

Thay (*) vào ta có:

`2x≥y` `(2)` 

Từ `(1)` và `(2)` suy ra:

`2x ≥x^2+2` 

`=>` `x^2-2x+2≤0`

`=>` `(x-1)^2+1≤0` 

Mà `(x-1)^2+1 >0` 

Do đó vô lý.

Vậy pt đã cho không cô nghiệm nguyên dương `(đpcm)`