Đáp án + Giải thích các bước giải:

Câu $\textbf{1}$:

$\textbf{a}\bigg)$:

Xét tứ giác $ABKH$, ta có:

$\begin {cases} AB // KH (AB // CD; H, K \in CD) \\  AH // BK (\text{cùng vuông góc với }CD) \end {cases}$

$\Rightarrow ABKH$ là hình bình hành

$\Rightarrow AB = HK = 6(\rm cm)$

Xét $\triangle AHD$ vuông tại $H$ và $\triangle BKC$ vuông tại $K$, ta có:

$\begin {cases} AD = BC (ABCD\text{ là hình thang cân}) \\ \widehat{ADH} = \widehat{BCK} (ABCD\text{ là hình thang cân}) \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle AHD = \triangle BKC (\rm ch - gn)$

$\Rightarrow DH = CK (2$ cạnh tương ứng$)$

Mà $DH + HK + KC = CD = 2DH + 6 = 16(\rm cm)$

$\Rightarrow DH = CK =5 (\rm cm)$

Xét $\triangle AHD$ vuông tại $H$, ta có:

$\cos \widehat{ADH} = \dfrac{DH}{AD}$

$\Rightarrow \cos 60^\circ = \dfrac{5}{AD}$

$\Rightarrow AD = \dfrac{5}{\cos 60^\circ} = 10(\rm cm)$

Mà $\triangle ADH$ vuông tại $H$ nên $AH^2 + DH^2 =A D^2$

$\Rightarrow AH = \sqrt{AD^2 -DH^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = 5\sqrt{3}(\rm cm)$

$\textbf{b}\bigg)$

Xét $\triangle AHC$ vuông tại $H$, ta có:

$AH^2 + HC^2 = AC^2 ($định lý Pytago$)$

Mà $HC^2 = (HK + KC)^2 =(6 + 5)^2 = 121$

$\Rightarrow AC^2 = \left(5\sqrt{3}\right)^2 + 121 = 196$

$\Rightarrow AC = 14(\rm cm)$

Ta có:

$S_{AHD} = S_{BKC} = \dfrac{1}{2}AH \cdot DH = \dfrac{1}{2} \cdot 5\sqrt{3} \cdot 5 = \dfrac{25\sqrt{3}}{2}\left(\rm cm^2\right)$

$S_{ABKH} = AH \cdot AB = 6 \cdot 5\sqrt{3} = 30\sqrt{3}\left(\rm cm^2\right)$

$\Rightarrow S_{ABCD} = S_{AHD} +S_{BKC} + S_{ABKH} = 2 \cdot \dfrac{25\sqrt{3}}{2} + 30\sqrt{3} = 55\sqrt{3}\left(\rm cm^2\right)$