a)

Xét đường tròn `(M)` có `(M)` tiếp xúc với `AB` tại `H` nên `MH bot AB` tại `H`, khi đó `AH` và `BH` là hai tiếp tuyến của `(M)` với `A,B` là tiếp điểm

Xét đường tròn `(M)` có `AC` và `AH` là hai tiếp tuyến với `C,H` là hai tiếp điểm nên `AC = AH`.

Đồng thời, `BH` và `BD` là hai tiếp tuyến với `D,H` là hai tiếp điểm nên `BH = BD`

Do đó: `AC + BD = AH + BH = AB` (đpcm)

b)

Xét đường tròn `(O)` có `hat(AMB)` là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên `hat(AMB) = 90^o`

Xét đường tròn `(M)` có `AC` và `AH` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `A` nên `MA` là phân giác của `hat(CMH)`, suy ra `hat(HMC) = 2hat(HMA)`

Xét đường tròn `(M)` có `BH` và `BD` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `B` nên `MB` là phân giác của `hat(DMH)`, suy ra `hat(HMD) = 2hat(DMB)`

Do đó `hat(CMD) = hat(HMA) + hat(HMB) = 2 (hat(HMA) + hat(DMB)) = 2 hat(AMB) = 2 . 90^o = 180^o`

Do đó `C,M,D` thẳng hàng nên `CD` là đường kính của đường tròn `(M)`

Khi đó `AC bot CD` tại `C` và `BD bot CD` tại `D` nên `AC` $\parallel$ `BD`, khi đó `ACDB` là hình thang

Xét hình thang `ACDB` có `O` là trung điểm `AB` (vì `AB` là đường kính của `(O)`) và `M` là trung điểm `CD` (vì `CD` là đường kính của `(M)`) nên `OM` là đường trung bình của hình thnag `ACDB`

Do đó `OM` $\parallel$ `AC` nên `OM bot CD` tại `M`

Mà `M in (O)` nên `CD` là tiếp tuyến của đường tròn `(O)` với `M` là tiếp điểm(đpcm)

c)

Xét `triangle KDB` có `DB` $\parallel$ `AC` (cmt) nên `(KC)/(KB) = (AC)/(DB)` (hệ quả của định lí Thalès)

Mà `AC = AH, BD = BH` nên `(KC)/(KB) = (AH)/(BH)`

Xét `triangle ABC` có `(KC)/(KB) = (AH)/(BH)` nên `KH` $\parallel$ `AC` (định lí Thalès đảo) (đpcm)