`sum(a^2+bc)/(b^2+c^2)>=3`

`<=>sum(2a^2+2bc)/(b^2+c^2)>=3`

`<=>sum(a^2)/(b^2+c^2)+sum(a^2+2bc)/(b^2+c^2)>=6`

Áp dụng bất đẳng thức Nessbit ta có:

`sum(a^2)/(b^2+c^2)>=3/2` `(1)`

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức:

`sum(a^2+2bc)/(b^2+c^2)>=3`

`⇔sum((a^2+2bc)/(b^2+c^2)-1)>=0`

`⇔(a+c-b)*(a+b-c)/(b^2+c^2)+(b+c-a)*(b+a-c)/(c^2+a^2)+(c+b-a)*(c+a-b)/(a^2+b^2)>=0`

Wlog,giả sử: `a>=b>=c>0`

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy:

`{(a+c-b>=b+c-a>=c+b-a),((a+b-c)/(b^2+c^2)>=(b+a-c)/(c^2+a^2)>=(c+a-b)/(a^2+b^2)):}`

Ta được:

`(a+c-b)*(a+b-c)/(b^2+c^2)+(b+c-a)*(b+a-c)/(c^2+a^2)+(c+b-a)*(c+a-b)/(a^2+b^2)`

`>=1/3*(a+c-b+b+c-a+c+a-b)*((a+b-c)/(b^2+c^2)+(b+a-c)/(c^2+a^2)+(c+a-b)/(a^2+b^2))`

`=1/3(a+3c-b)*((a+b-c)/(b^2+c^2)+(b+a-c)/(c^2+a^2)+(c+a-b)/(a^2+b^2))`

`>=0`

Do đó: `sum(a^2+2bc)/(b^2+c^2)>=3` `(2)`

Cộng `(1)` và `(2)` ta được: `sum(a^2)/(b^2+c^2)+sum(a^2+2bc)/(b^2+c^2)>=3+3/2=9/2>6`

Không có dấu "`=`" xảy ra