`OKA` vuông tại `K` cạnh huyền `OA`

`ONA` vuông tại `N` cạnh huyền `OA`

`OMA` vuông tại `M` cạnh huyền `OA`

`=> 5` điểm `A ; O; M ; N ; K` cùng thuộc `1` đường tròn

khi đó: `hat{AKN} = hat{AON}` ( cùng chắn cung nhỏ `AN` ) `( 1 )`

khi đó: `hat{AKM} = hat{AOM}` ( cùng chắn cung nhỏ `AM` ) `( 2 )`

`Mà  hat{AON} = hat{AOM}  ( 3 )`

`( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) => KI` là phân giác `hat{MKN}` 

Áp dụng t/c đường phân giác `=> ( IM )/( IN ) = ( KM )/( KN ) ( 4 )`

Lại có: `IK \bot KE` tại `K => KE` là phân giác ngoài của góc `hat{MKN}`

Áp dụng t/c đường phân giác `=> ( ME )/( NE ) = ( KM )/( KN ) ( 5 )`

`( 4 ) ; ( 5 ) => ( IM )/( IN ) = ( ME )/( NE ) => IM . NE = ME . IN` ( đpcm )