Đáp án + Giải thích các bước giải:

 

Câu a) Chứng minh tứ giác ADHKADHK là hình chữ nhật

Ta có:

• AB ⊥ AC (vì △AB vuông tại A).
• HD ⊥ AB (giả thiết).

Suy ra:

HD // AC

(vì hai đường cùng vuông góc với AB).

Mà AK ⊂ AC nên:

HD // AK

Tương tự:

• HK ⊥ AC
• AB ⊥ AC

nên:

HK // AB.

Mà AD⊂  AB nên:

HK // AD

Vậy:

AD // HK                    AK // HD

Suy ra tứ giác ADHK là hình bình hành.

Lại có:

AD ⊥ AK (vì AB ⊥ AC).

Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

Do đó:

ADHK là hình chữ nhật.

Câu b) Chứng minh tứ giác AKDE là hình bình hành

Vì E đối xứng với H qua D nên:

D,H,E thẳng hàng và DH = DE.

Từ câu a), ADHK là hình chữ nhật nên:

AK = DH (hai cạnh đối của hình chữ nhật bằng nhau).

Suy ra:

AK = DE.

Mặt khác:

• AK // HD
• D,H,E thẳng hàng.

Nên:

AK // DE.

Vậy trong tứ giác AKDE, cặp cạnh đối AK và DE:

• song song,
• bằng nhau.

Do đó:

AKDE là hình bình hành.

Câu c) Chứng minh AA là trung điểm của EF

Bước 1. Chứng minh A,E, thẳng hàng

Từ câu b), AKDE là hình bình hành nên:

AE // KD và AE = KD.

Từ câu a), ADHK là hình chữ nhật nên hai đường chéo bằng nhau:

AH = DK.

Suy ra:

AE = AH.

 

Do F thuộc tia đối của tia KH và KH = KF, nên K là trung điểm của HF.

Mà trong hình chữ nhật ADHK:

AK ⊥ KH.

Vì H,K,F thẳng hàng nên:

AK ⊥ HF.

Lại có K là trung điểm của HF, suy ra AK là đường trung trực của đoạn HF.

Do đó:

AH = AF.

Từ (1) và (2):

AE = AF.

Bước 2. Chứng minh A là trung điểm của EF

Ta có:

AE // KD.

Mặt khác:

• D,H,E thẳng hàng,
• H,K,F thẳng hàng.

Nên hai tam giác ADE và AKF tương ứng đối xứng qua điểm A, suy ra:

E,A,F thẳng hàng.

Lại có:

AE = AF.

Vậy AA nằm trên đoạn E và:

AE = AF.

Theo định nghĩa trung điểm:

A là trung điểm của EF.

Kết luận

1. a) ADHK là hình chữ nhật.
2. b) AKDE là hình bình hành.
3. c) A là trung điểm của EF.