a)

Xét `triangle ABC` vuông tại `A` có `hat(BAC) = 90^o` hay `hat(DAK) = 90^o`

Ta có `HD bot AB` tại `D` nên `hat(HDA) = 90^o`

Ta có `HK bot AC` tại `K` nên `hat(HKA) = 90^o`

Xét tứ giác `ADHK` có `hat(DAK) = hat(HDA) = hat(HKA) = 90^o` nên `ADHK` là hình chữ nhật (đpcm)

b)

Ta có `ADHK` là hình chữ nhật nên `HD = AK`

Mà `E` đối xứng với `H` qua `D` nên `HD = DE`

Do đó `AK = DE`

Ta có `HE bot AB` tại `D` và `AK  bot AB` tại `A` nên `HE` $\parallel$ `AK` hay `DE` $\parallel$ `AK`

Xét tứ giác `AKDE` có `AK = DE` và `DE` $\parallel$ `AK` nên `AKDE` là hình bình hành (đpcm)

c)

Ta có `ADHK` là hình chữ nhật nên `AH = DK`

Xét `triangle HEF` có `D` là trung điểm `HE` (vì `HD = DE`) và `K` là trung điểm `HF` (vì `HK = KF`) nên `DK` là đường trung bình của `triangle HEF`. Do đó `DK = 1/2 EF`

Khi đó: `AH = 1/2 EF`

Xét `triangle HEF` vuông tại `H` có `AH = 1/2 EF` nên `A` là trung điểm của `EF` (đpcm)