Đáp án + Giải thích các bước giải:

Câu a) Chứng minh tứ giác ADHKADHK là hình chữ nhật

Ta có:

• AB ⊥ AC (vì △ABC vuông tại A).
• HD ⊥ AB (giả thiết).

Suy ra:

        HD // AC (vì hai đường cùng vuông góc với AB).

Mà AK ⊂ AC nên:

        HD // AK.

Tương tự:

• HK ⊥ AC
• AB ⊥ AC

nên:

        HK // AB.

Mà AD ⊂ AB nên:

        HK // AD.

Vậy:

        AD // HK        AK // HD

Suy ra tứ giác ADHK là hình bình hành.

Lại có:

        AD ⊥ AK (vì AB ⊥ AC).

Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

Do đó:

        ADHK là hình chữ nhật.

Câu b) Chứng minh tứ giác AKDEAKDE là hình bình hành

Vì E đối xứng với H qua D nên:

         D,H,E thẳng hàng

và

         DH = DE

Từ câu a), ADHK là hình chữ nhật nên:

         AK = DH (hai cạnh đối của hình chữ nhật bằng nhau).

Suy ra:

         AK = DE

Mặt khác:

• AK // HD
• D,H,E thẳng hàng

Nên:

         AK // DE

Vậy trong tứ giác AKDE, cặp cạnh đối AK và DE :

• song song,
• bằng nhau.

Do đó:

          AKDE là hình bình hành.

Câu c) Chứng minh A là trung điểm của EF

Bước 1. Chứng minh A,E,F thẳng hàng

Từ câu b), AKDE là hình bình hành nên:

          AE // KD

và

          AE = KD

Từ câu a), ADHK là hình chữ nhật nên hai đường chéo bằng nhau:

          AH = DK

Suy ra:

          AE = AH

Do F thuộc tia đối của tia KH và KH = KF, nên K là trung điểm của HF.

Mà trong hình chữ nhật ADHK:

          AK ⊥ KH

Vì H,K,F thẳng hàng nên:

          AK ⊥ HF

Lại có K là trung điểm của HF, suy ra AK là đường trung trực của đoạn HF.

Do đó:

          AH = AF

Từ (1) và (2):

          AE = AF

Bước 2. Chứng minh A là trung điểm của EF

Ta có:

          AE // KD

Mặt khác:

• D,H,E thẳng hàng,
• H,K,F thẳng hàng.

Nên hai tam giác ADE và AKF tương ứng đối xứng qua điểm A, suy ra:  

           E,A,F thẳng hàng

Lại có:

           AE = AF

Vậy A nằm trên đoạn EF và:

           AE = AF

Theo định nghĩa trung điểm:

           A là trung điểm của EF.

Kết luận

1. ADHK là hình chữ nhật.
2. AKDE là hình bình hành.
3. A là trung điểm của EF.