Gọi `Q` là giao điểm `MF` và `OH`

Xét `ΔAHC` vuông tại `H` có `O` là trung điểm `AC`

`⇒OH=OC=OA=1/2AC`

`⇒ΔOCH` cân tại `O`

`⇒hat[OHC]=hat[OEC]`

Xét `ΔABC` có `MF║AC` (cùng `⊥AB`)

Mà `M` là trung điểm `BC` và `F∈AB`

`⇒F` là trung điểm `AB`

Mà `O` là trung điểm `AC`

`⇒OF` là đường trung bình

`⇒OF║BC`

`⇒hat[QFO]=hat[FMB]=hat[OEH]` (Do `MF║AC`);`hat[QOF]=hat[OHE]`

`⇒hat[QFO]=hat[QOF]`

`⇒ΔQOF` cân tại `Q`

Dễ dàng cm `I` là trung điểm `AM` (hình chữ nhật)

`⇒QI` vừa là trung tuyến vừa là đường cao

`⇒QI⊥OF`

Cm đc `OM ║AB` (đường trung bình)

Mà `MF⊥AB`

`⇒MF⊥OM` hay `MF⊥OP`

Xét `ΔAHB` vuông tại `H` có `F` là trung điểm `AB`

`⇒HF=AF=BF=1/2.AB`

Cm đc `ΔAOF=ΔHOF(c.c.c)`

`⇒hat[OAF]=hat[OHF]=90^@`

Do đó `OH⊥PF`

Xét `ΔOPF` có `2` đường cao `FM,OH` cắt nhau tại `Q`

`⇒Q` là trực tâm

`⇒PQ⊥OF`

Mà `QI⊥OF`

`⇒PQ` trùng `QI`

Hay `I,P,Q` thằng hàng

Do đo `FM,OH,PI` đồng quy

                                                        `color[orange][JoeHigan]`