Bài giải:

a)

Xét ΔABD và Δ CBF, ta có:

∠B chung

∠ADB=∠CFB=90 độ

⇒ΔABD~ΔCBF(g.g)

⇒$\frac{BA}{BC}$ =$\frac{BD}{BF}$ 

⇒BA·BF=BC·BD (đpcm)

b)

Xét ΔAEH vuông tại E(do đường cao BE⊥AC) có M là trung điểm của cạnh huyền AH:

⇒EM=AM=MH=$\frac{1}{2}$ AH (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

⇒ΔMEH cân tại M

⇒∠MEH=∠MHE (1)

Xét ΔCEB vuông tại E(do đường cao BE⊥AC) có N là trung điểm của cạnh huyền BC:

⇒EN=BN=NC=$\frac{1}{2}$ BC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

⇒ΔNEC cân tại N

⇒∠NEC=∠NCE(2)

Xét ΔHDC vuông tại D(do đường cao AD⊥BC):

⇒∠DHC+∠HCD=90 độ (hai góc nhọn phụ nhau)

Ta có:

∠MHE=∠DHC(hai góc đối đỉnh)

∠NCE=∠HCD (vì H,D cùng nằm trên đường thẳng chứa cạnh tam giác)

⇒∠MHE+∠NCE=90 độ (3)

Từ (1)(2) và (3), ta thay các góc tương ứng bằng nhau vào:

⇒∠MEH+∠NEC= 90 độ

Vì tia EH nằm giữa hai tia EM và EN, ta có:

∠MEN=∠MEH+∠NEC

⇒∠MEN=90 độ (đpcm)

Xét ΔAFH vuông tại F, có FM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH⇒FM=$\frac{1}{2}$ AH

Xét ΔBFC vuông tại F, có FN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC⇒FN=$\frac{1}{2}$ BC

Xét ΔABC, M là trung điểm của AH và N là trung điểm BC⇒MN là đường trung bình⇒MN=$\frac{1}{2}$BC

Suy ra: FN=EN=MN=$\frac{1}{2}$BC  và FM=EM=$\frac{1}{2}$AH

Theo giả thiết, AH=MN=12 cm⇒FM=EM=$\frac{1}{2}$(12)=6 cm

Xét ΔMFN và ΔMEN, ta có:

MF=ME

FN=EN

MN chung

⇒ΔMFN=ΔMEN(c.c.c)

⇒∠MEN=∠MEN=90 độ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác vuông MEN tại E, có ME = 6cm và cạnh huyền MN=12 cm:

⇒ME=$\frac{1}{2}$ MN⇒∠ENM=30 độ

Xét tam giác vuông MFN tại F, có MF=$\frac{1}{2}$MN ⇒∠FNM=30 độ

Do tia MN nằm giữa hai tia NE và NF, ta có: ∠ENF=∠ENM+∠FNM=30 độ+30 độ=60 độ

Vậy ∠ENF=60 độ

c)

Gọi P là trung điểm của HC

Xét ΔAHC, có M là trung điểm của AH và P là trung điểm của HC:

⇒MP là đường trung bình của ΔAHC⇒MP//AC và MP=$\frac{1}{2}$AC 

Mà theo giả thiết BI//AC và BI=$\frac{1}{2}$AC (do I thuộc CF và BI//AC)

⇒MP//BI và MP=BI

Tứ giác BPIM có MP//BI và MP=BI⇒BPIM là hình bình hành.

⇒BM//IP(*)

Vì MP//AC và AC⊥BE(do BE là đường cao)⇒MP⊥BE

Xét ΔHBC, có N là trung điểm BC và P là trung điểm HC⇒NP là đường trung bình ΔHBC⇒NP//HB

Mà HB⊥AC⇒NP⊥AC.Do BI//AC⇒NP⊥BI

Xét ΔBIP, có hai đường cao BE(vuông góc MP) và NP(vuông góc BI) cắt nhau tại P:

⇒P là trực tâm của ΔBIP⇒IP⊥IN(**)

Từ (*) và (**)⇒BM⊥IN(đpcm)

                                           @Mytra8A-#Hoidap247#