Đáp án+Giải thích các bước giải:

 a) Xét ΔAOM và ΔCOP có 

OA = OC ; AM=CP ; $\widehat{OAM}$ = $\widehat{OCP}$ = $45^\circ$

Suy ra ΔAOM = ΔCOP ( c.g.c ) (1)

Suy ra  $\widehat{AOM}$ = $\widehat{COP}$ 

Mà $\widehat{AOM}$ + $\widehat{AOP}$ = $180^\circ$

Nên $\widehat{COP}$ + $\widehat{AOP}$ = $180^\circ$ 

Hay  $\widehat{MOP}$ = $180^\circ$  suy ra M,O,P thẳng hàng

Tương tự chứng minh được N,O,Q thẳng hàng

b) Ta có  ΔBON = ΔDOQ (c.g.c) suy ra ON = OQ

Từ (1) ta suy ra OM = OP

Mặt khác xét ΔAMO và ΔBNO có 

AM = BN (gt) ; $\widehat{OAM}$ = $\widehat{OBN}$ = $45^\circ$ ; OA = OB ( do ABCD là hình chữ nhật )

Suy ra ΔAMO = ΔBNO (c.g.c)

Suy ra OM = ON

Suy ra OM =ON = OP = OQ

Hay 4 điểm M,N,P,Q cùng thuộc 1 đg tròn

c)

Ta có AB=BC và AM = BN

Nên BM = CN

Mặt khác ta có MN² = BM² + BN² ( định lí pitago trong ΔBMN)

NP² = CN² + CP²

⇒MN=NP

Xét ΔMON và ΔPON có

MN = NP (cmt)

OM=OP (cmt)

ON chung

Suy ra ΔMON = ΔPON (c.c.c)

Suy ra $\widehat{MON}$ = $\widehat{PON}$

Mà $\widehat{MON}$ + $\widehat{PON}$ = $180^\circ$

Nên $\widehat{MON}$ =$\widehat{PON}$ = $90^\circ$

Suy ra đường tròn ngoaij tiếp tam giác MNP có bán kính là OM

Gọi R,r là bán kính đg tròn ngoại tiếp ABCD và MNP

Khi đó R≥r vì OA≥OM

Mà 2 đg tròn trên lại đồng tâm

Nên các điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đều nằm trong đg trong ngoại tiếp hình vuông ABCD

Dấu "=" xảy ra khi M≡A