a) Xét $ΔAMO$ và $ΔCPO$ có
$\widehat{OAM}=\widehat{OCP} (AM//CP)$

$AM=CP$

$OA=OC$

$⇒ΔAMO=ΔCPO$ 

$⇒$ $\widehat{AOM} = \widehat{COP}$

Mà $\widehat{AOM}+\widehat{MOC}=\widehat{AOC}=180^o$

$⇒ \widehat{COP} +\widehat{MOC}=180^o=\widehat{MOP}$

Hay $M,O,P$ thẳng hàng

CM tương tự, có $ΔBNO=ΔDQO$ 

$⇒$ $N,O,Q$ thẳng hàng

b) Do $ABCD$ là hình vuông

$⇒$ $AB=BC=CD=DA$

Mặt khác $AM=BN=CP=DQ$

$⇒$ $MB=NC=PD=QA$

Xét 4 tam giác vuông tại $A, B, C, D$

$\triangle AMQ = \triangle BNM = \triangle CPN = \triangle DQP$

$⇒$ $MQ = MN = NP = PQ$

Tứ giác $MNPQ$ có $MQ=MN=NP=PQ$

$⇒$ $MNPQ$ là hình thoi

Ta có:

$\widehat{AMQ} + \widehat{AQM} = 90^\circ$

Mà $\widehat{AQM} = \widehat{BMN}$

$\Rightarrow \widehat{AMQ} + \widehat{BMN} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{NMQ} = 180^\circ - (\widehat{AMQ} + \widehat{BMN}) = 90^\circ$

Hình thoi $MNPQ$ có $\widehat{NMQ}=90^o$

$⇒MNPQ$ là hình vuông

Giao của $MP$ và $NQ$ là $O$

$⇒OM=ON=OP=OQ$

Hay $M,N,P,Q$ cùng $∈(O;OM)$

c) Kí hiệu: $(ΔABC)$ là đường tròn ngoại tiếp $ΔABC$ 

$+$ $(\triangle MNP)$ chính là $(MNPQ)$, có tâm $O$ và bán kính $R_1 = OM$

$+$ $(ABCD)$ có tâm $O$ và bán kính $R_2 = OA$

$+$ Xét $AB$, điểm $M$ di động trên đoạn $AB$. Khoảng cách từ $O$ đến các điểm trên $AB$ đạt max tại 2 đầu mút. Do đó, $OM \le OA$ (dấu "=" xảy ra khi $M$ trùng $A$ hoặc $B$)

$+$ Vì hai đường tròn đồng tâm $O$ và có bán kính $R_1 \le R_2$, nên mọi điểm nằm trên đường tròn $(O; R_1)$ luôn nằm bên trong hoặc trên đường tròn $(O; R_2)$

@tuan789