Đáp án+Giải thích các bước giải:

a) Giải Δ vuông MNP

Ta có: $\widehat{MNP}$ = $90^\circ$ - $\widehat{MPN}$

$\Rightarrow$ $\widehat{MNP}$ = $90^\circ$ - $37^\circ$ = $53^\circ$

Xét Δ MNP vuông tại M có:

$Sin\widehat{MNP}$ = $\frac{MP}{NP}$ $\Rightarrow$ NP = $\dfrac{MP}{Sin\widehat{MNP}}$ = $\frac{8}{Sin53}$ ≈ 10,02 cm

Xét Δ MNP vuông tại M có:

$Tan\widehat{MNP}$ = $\frac{MP}{NM}$ $\Rightarrow$ NM = $\dfrac{NP}{Tan\widehat{MNP}}$ = $\frac{8}{Tan 53}$ ≈ 6,03 cm

b) Cm: NP = MN.$Cos\widehat{MNP}$ + MP.$Cos\widehat{MPN}$

Xét Δ MNH vuông tại H có:

$Cos\widehat{MNH}$ = $\frac{NH}{MN}$

$\Rightarrow$ NH = $Cos\widehat{MNH}$ .MN 

Nên NH = $Cos\widehat{MNP}$.MN(1)

Xét Δ MHP vuông tại H có:

$Cos\widehat{MPH}$ = $\frac{HP}{MP}$

$\Rightarrow$ HP = $Cos\widehat{MPH}$ .MP 

Nên HP = $Cos\widehat{MPN}$.MP(2)

Ta có: NP = NH + HP (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra NP=MN.$Cos\widehat{MNP}$ +MP.$Cos\widehat{MPN}$ ( đpcm )

c) Cm : QH = MQ . $Sin\widehat{MPN}$

Ta có: $\widehat{NMH}$ = $\widehat{NPM}$ ( cùng phụ $\widehat{MNP}$ ) (4)

Xét Δ NMH có đường phân giác ND 

$\Rightarrow$ $\dfrac{NH}{MN}$ = $\dfrac{QH}{MQ}$ (5)

Xét Δ MNH vuông tại H có:

$Sin\widehat{NMH}$ = $\frac{NH}{MN}$(6)

Từ (4),(5) và (6) suy ra $Sin\widehat{MPN}$ = $\dfrac{QH}{MQ}$

Nên QH = $Sin\widehat{MPN}$ . MQ (đpcm)