*Giải:

Bài `4:`

`a)` Ta có: `·hat{OMC}=90^o(CD` là tiếp tuyến của đường tròn `(O)` và cắt `O` tại `M)`

                `·hat{OAC}=90^o (CA` là tiếp tuyến của đường tròn `O,` cắt đường tròn `(O)` tại `A)`

nên tứ giác OACM nội tiếp hay bốn điểm A,C,M,O cùng nằm trên cùng một đường tròn

`b)` Gọi `N` là giao điểm `MB` và `OD, T` là giao điểm `AM` và `CO`

Xét `ΔOAC` vuông tại `A` và `ΔOMC` vuông tại `M,` có:

`·OC` cạnh chung

`·hat{MOC}=hat{AOC}` (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

nên `ΔOAC=ΔOMC (ch-gn)`

suy ra `CA=CM` (hai cạnh tương ứng) `(1)`

Xét `ΔOMD` vuông tại `M` và `ΔOBD` vuông tại `B,` có:

`·OD` cạnh chung

`·hat{MOD}=hat{BOD}` (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

nên `ΔOMD=ΔOBD (ch-gn)`

suy ra `BD=MD` (hai cạnh tương ứng) `(2)`

Lấy `(1)+(2),` ta được `AC+BD=MC+MD=CD`

Vì `hat{AMB}` chắn đường kính `AB` của đường tròn `(O)`

nên `hat{AMB}=90^o` hay `AM⊥MB (3)`

Ta có: `OM=OB (=R)` nên `ΔOMB` cân tại `O`

suy ra `hat{OMB}=hat{OBM}`

Xét `ΔMON` và `ΔBON,` có:

`·BO=MO (=R)`

`·hat{MON}=hat{BON} (cmt)`

`·hat{OMN}=hat{OBN} (cmt)`

nên `ΔMON=ΔBON` `(g`-`c`-`g)` suy ra `hat{ONM}=hat{ONB}` (hai góc tương ứng)

Ta có: `hat{ONM}+hat{ONB}=180^o` (hai góc kề bù) nên `2hat{ONM}=180^o`

suy ra `hat{ONM}=90^o` hay `OD⊥MB` tại `N (4)`

Ta có: `OM=OA (=R)` nên `ΔOMA` cân tại `O` suy ra `hat{OMA}=hat{OAM}`

Xét `ΔAOT và ΔMOT,` có:

`·hat{AOT}=hat{MOT} (cmt)`

`·OA=OM (=R)`

`·hat{OAT}=hat{OMT} (cmt)`

nên `ΔAOT=ΔMOT` `(g`-`c`-`g)` suy ra `hat{OTA}=hat{OTM}`

Ta có: `hat{OTA}+hat{OTM}=180^o` (hai góc kề bù) nên `2{OTA}=180^o` suy ra `hat{OTA}=90^o`

hay `OC⊥MA` tại `T (5)`

Từ `(3);(4);(5)` nên tứ giác `OTMN` là hình chữ nhật suy ra `hat{COD}=90^o`

Diện tích `ΔCOD` vuông tại `O` có `OM` là đường cao`(OM⊥CD` tại `M): OC.OD:2=OM.CD:2`

suy ra `OC.OD=OM.CD` hay `OM=(OC.OD)/CD

mà `OM=R` nên `R=(OC.OD)/CD`

`c)` Gọi `I` là tâm đường tròn nội tiếp ba điểm `D,P,N`

Kẻ đường kính `PF` của đường tròn tâm `I`

Ta có: `OD⊥BM (cmt)`

Xét `ΔOBD` và `ΔONB,` có:

`·hat{OBD}=hat{ONB} (=90^o)`

`·hat{DOB}` chung

nên `ΔOBD~ΔONB` `(g`-`g)` suy ra `(OB)/(ON)=(OD)/(OB)` (tỉ số đồng dạng)

nên `OB^2=ON.OD`

mà `OB=OP (=R)` nên `OP^2=ON.OD`

Xét `ΔONP` và `ΔOPD,` có:

`·hat{DOP}` chung

`·(ON)/(OP)=(OP)/(OD) (OP^2=ON.OD)`

nên `ΔONP~ΔOPD` `(c`-`g`-`c)`

suy ra `hat{OPN}=hat{NDP}`

mà `hat{NFP}=hat{PDN}` (cùng chắn cung `NP)`

nên `hat{NFP}=hat{OPN} (6)`

Vì `hat{FNP}` chắn đường kính `PF` của đường tròn tâm `I`

nên `hat{FNP}=90^o` suy ra `hat{NFP}+hat{FPN}=90^o (7)`

Từ `(6)` và `(7)` nên `hat{OPN}+hat{FPN}=90^o=hat{FPO}`

suy ra `FP⊥PO` tại `P` hay `IP⊥PO` tại `P`

nên `OP` là tiếp tuyến đường tròn tâm `I`

#Funny12345

Hoidap247