`a)`

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

`A=abc`

`A<=((a+b+c)/3)^3`

`A<=(3/3)^3`

`A<=1`

Dấu `=` xảy ra khi `a=b=c=1`

Vậy GTLN của `A` là `1`

`b)`

`B=a^2bc`

`B=4*a/2*a/2*b*c`

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

`B<=4*((a/2+a/2+b+c)/4)^4`

`B<=4*((a+b+c)/4)^4`

`B<=4*(3/4)^4`

`B<=81/64`

Dấu `=` xảy ra khi `a/2=b=c`

Suy ra `a=3/2;b=c=3/4`

Vậy GTLN của `B` là `81/64`

`c)`

`C=ab^2c^3`

`C=108*a*b/2*b/2*c/3*c/3*c/3`

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

`C<=108*((a+b/2+b/2+c/3+c/3+c/3)/6)^6`

`C<=108*((a+b+c)/6)^6`

`C<=108*(1/2)^6`

`C<=27/16`

Dấu `=` xảy ra khi `a=b/2=c/3`

Suy ra `a=1/2;b=1;c=3/2`

Vậy GTLN của `C` là `27/16`

`d)`

Không mất tính tổng quát, giả sử `a>=b>=c>=0`

`D=(a-b)(b-c)(a-c)`

`b-c<=b;a-c<=a`

Suy ra `D<=ab(a-b)`

Khi đó `a+b=3`

`D^2<=(ab)^2(a-b)^2`

`D^2<=(ab)^2[(a+b)^2-4ab]`

`D^2<=(ab)^2(9-4ab)`

`D^2<=1/4*(2ab)*(2ab)*(9-4ab)`

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

`D^2<=1/4*((2ab+2ab+9-4ab)/3)^3`

`D^2<=1/4*3^3`

`D^2<=27/4`

`D<=(3sqrt(3))/2`

Dấu `=` xảy ra khi:

`c=0;ab=3/2;a+b=3`

`a,b` là nghiệm của:

`x^2-3x+3/2=0`

`x={3+-sqrt{3}}/2`

`a={3+sqrt{3}}/2;b={3-sqrt{3}}/2`

Vậy GTLN của `D` là `(3sqrt(3))/2`