Ta có: `sum sqrt{(3ab)/(a^2+ab+b^2)}`

`=sum sqrt{(3ab(a^2+ab+b^2))}/(a^2+ab+b^2)`

`<=sum (a^2+4ab+b^2)/(2(a^2+ab+b^2))` (cauchy)

`=sum (2(a^2+ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2))/(2(a^2+ab+b^2))`

`=sum (1-(a-b)^2/(2(a^2+ab+b^2)))`

`=3-1/2sum(a-b)^2/(a^2+ab+b^2)`

Mặt khác:

`(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)/(6(a^4+b^4+c^4))+17/6`
`=-(sum(a^4-2a^2b^2+b^4)-3suma^4)/(12(a^4+b^4+c^4))+17/6`
`=-(sum(a^2-b^2)^2)/(12(a^4+b^4+c^4))+3`
`=-(sum(a-b)^2(a+b)^2)/(12suma^4)+3`

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

`3-1/2sum(a-b)^2/(a^2+ab+b^2)<=-(sum(a-b)^2(a+b)^2)/(12suma^4)+3`

`<=>sum(a-b)^2/(a^2+ab+b^2)>=(sum(a-b)^2(a+b)^2)/(6suma^4)`

`<=>sum{(a-b)^2[1/(a^2+ab+b^2)-(a+b)^2/(6suma^4)]}>=0` (*)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức:

`1/(a^2+ab+b^2)-(a+b)^2/(6suma^4)>=0`

`<=>1/(a^2+ab+b^2)>=(a+b)^2/(6(a^4+b^4+c^4))`

`<=>(a+b)^2(a^2+ab+b^2)<=6(a^4+b^4+c^4)`

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

`(a+b)^2(a^2+ab+b^2)<=2(a^2+b^2)*3/2(a^2+b^2)=3(a^2+b^2)^2<=6(a^4+b^4)<=6(a^4+b^4+c^4)` (luôn đúng)

Chứng minh tương tự:

`1/(b^2+bc+c^2)-(b+c)^2/(6suma^4)>=0`

`1/(c^2+ca+a^2)-(c+a)^2/(6suma^4)>=0`

Do đó bất đẳng thức: (*) đúng

`=>` bất đẳng thức ban đầu đúng

Dấu "`=`" xảy ra khi: `a=b=c`