`a)` 

Xét tứ giác `BHCK` có:

+ `M` là trung điểm `BC` `(\text{gt})`

+ `M` là trung điểm `HK` (do `K` đối xứng với `H` qua `M`) `(\text{gt})`

+ `BC` cắt `HK` tại `M`

`-> BHCK` là hình bình hành (đpcm) 

`-> KC //// BH` và `KB //// CH`

hay `KC //// BE` và `KB //// CF`

Mà:

+ `CH \bot AB` (do `CF` là đường cao)

`-> KB \bot AB -> \Delta ABK` vuông tại `B`

+ `BH \bot AC` (do `BE` là đường cao)

`-> KC \bot AC -> \Delta ACK` vuông tại `C`

Xét `\Delta ABE` và `\Delta ACF` có:

+ `\hat{BAC}` chung

+ `\hat{AEB} = \hat{AFC} = 90^o`

`-> \Delta ABE` $\sim$ `\Delta ACF` (g.g)

`-> (AE)/(AF) = (AB)/(AC)`

`-> (AE)/(AB) = (AF)/(AC)`

Xét `\Delta AEF` và `\Delta ABC` có:

+ `(AE)/(AB) = (AF)/(AC)` `(\text{cmt})`

+ `\hat{BAC}` chung

`-> \Delta AEF` $\sim$ `\Delta ABC` (c.g.c)

`-> \hat{AEF} = \hat{ABC}`

Kẻ `AD \bot BC` tại `D`

Xét `\Delta ABD` vuông tại `D` có:

`\hat{BAD} = 90^o - \hat{ABC}`

Xét `\Delta ACK` vuông tại `C` có:

`\hat{KAC} = 90^o - \hat{AKC}`

Xét `\Delta ABK` và `\Delta AFC` có:

+ `\hat{ABK} = \hat{AFC} = 90^o` `(\text{cmt})`

+ `\hat{BAC}` chung

`-> \Delta ABK` $\sim$ `\Delta AFC` (g.g)

`-> (AB)/(AF) = (AK)/(AC)`

` -> (AB)/(AK) = (AF)/(AC)`

Xét `\Delta AFK` và `\Delta ABC` có:

+ `\hat{BAC}` chung

+ `(AB)/(AK) = (AF)/(AC)` `(\text{cmt})`

`-> \Delta AFK` $\sim$ `\Delta ABC` (c.g.c)

`-> \hat{AKF} = \hat{ACB}` $(*)$

Xét `\Delta ACK` và `\Delta AEB` có:

+ `\hat{ACK} = \hat{AEB} = 90^o`

+ `\hat{BAC}` chung

`-> \Delta ACK` $\sim$ `\Delta AEB` (g.g)

`-> (AC)/(AE) = (AK)/(AB)`

`-> (AC)/(AK) = (AE)/(AB)`

Xét `\Delta AEK` và `\Delta ACB` có:

+ `\hat{BAC}` chung

+ `(AC)/(AK) = (AE)/(AB)` `(\text{cmt})`

`-> \Delta AEK` $\sim$ `\Delta ACB` (c.g.c)

`-> \hat{AKE} = \hat{ABC}` $(**)$

Từ $(*)$ và $(**)$

`-> \hat{AKC} = \hat{AKE} = \hat{ABC}`

`-> \hat{KAC} = 90^o - \hat{ABC}`

Gọi `J` là giao điểm của `AK` và `EF`

Ta có:

`\hat{AEJ} + \hat{EAJ} = \hat{AEF} + \hat{KAC} = \hat{ABC} + (90^o - \hat{ABC}) = 90^o`

Xét `\Delta AJE` có:

`\hat{AEJ} + \hat{EAJ} + \hat{AJE} = 180^o` (tổng `3` góc trong `\Delta`)

`-> \hat{AJE} = 90^o`

`-> AK \bot EF` tại `J` (đpcm)

`b)` 

Vì `AD \bot BC` tại `D`

`-> AH \bot BC` (do `H \in AD`)

mà `KP \bot AH` `(\text{gt})`

`-> KP //// BC`

`-> BPKC` là hình thang

Xét `\Delta HKP` có:

+ `M` là trung điểm `HK` `(\text{gt})`

+ `MD //// KP` (vì cùng `\bot` với `AH`)

`-> MD` là đg trung bình của `\Delta HKP`

`-> D` là trung điểm `HP`

Vì `BC \bot HP` tại `D`, `D` là trung điểm `HP`

`-> BC` là trung trực của `HP`

`-> CP = CH`

Vì `BHCK` là hình bình hành `(\text{cmt})` nên `BK = CH`

`-> CP = BK`

Xét hình thang `BPKC` có `CP = BK` `(\text{cmt})`

`-> BPKC` là hình thang cân (đpcm)

`c)` 

Xét `\Delta AHK` có:

+ `I` là trung điểm `AH`

+ `O` là trung điểm `AK` `(\text{gt})`

`-> IO` là đg trung bình của `\Delta AHK`

`-> IO //// HK` và `IO = (1)/(2)HK = HM`

CMTT: `OM` là đg trung bình của `\Delta AHK`

`-> OM //// AH` và `OM = (1)/(2)AH = IH`

Xét tứ giác `IHMO` có

+ `IO //// HK` `(\text{cmt})`

+ `OM //// AH` `(\text{cmt})`

`-> IHMO` là hình bình hành

Gọi `N` là trung điểm `AB`

Tự CM được: `IN` là đg trung bình của `\Delta ABH`

`-> IN //// BH` và `IN = (1)/(2)BH = (1)/(2)CK` (do `BHCK` là hình bình hành)

Tự CM được: `NM` là đg trung bình của `\Delta ABC`

`-> NM //// AC` và `NM = (1)/(2)AC`

Vì `CK \bot AC` `(\text{cmt - a})`

`-> IN \bot NM`

`-> \Delta INM` vuông tại `N`

Xét `\Delta INM` vuông tại `N` có:

`IM^2 = IN^2 + NM^2` (Đlý Pytago)

`IM^2 = ((1)/(2)CK)^2 + ((1)/(2)AC)^2 = (1)/(4)(CK^2 + AC^2)`

Xét `\Delta ACK` vuông tại `C` có:

`CK^2 + AC^2 = AK^2` (Đlý Pytago)

`-> IM^2 = (1)/(4)AK^2`

`-> IM = (1)/(2)AK = AO`

Vì `OS //// BC`

`-> \hat{ASO} = \hat{ACB}` (`2` góc đồng vị)

Xét `\Delta AOS` và `\Delta ABC` có:

+ `\hat{BAC}` chung

+ `\hat{ASO} = \hat{ACB}` `(\text{cmt})`

`-> \Delta AOS` $\sim$ `\Delta ABC` (g.g)

`-> (OS)/(BC) = (AO)/(AB)`

`-> (OS)/(2BM) = (IM)/(AB)`

`-> (OS)/(IO) = (BM)/(IM)`

Ta có: `OM //// AH` 

mà `AH \bot BC`

`-> OM \bot BC`

mà `OS //// BC`

`-> OM \bot OS -> \hat{MOS} = 90^o`

Tự CM được: `\Delta ISO` $\sim$ `\Delta IMB` (c.g.c)

`-> \hat{SIO} = \hat{BIM}`

`-> \hat{BIS} = \hat{BIM} + \hat{MIS} = \hat{SIO} + \hat{MIS} = \hat{MIO} = 90^o` (đpcm)