Đáp án+Giải thích các bước giải:

a) Chứng minh M,E,A,O cùng thuộc đường tròn

Gọi I là trung điểm của EO

Ta có: Δ EMO vuông tại M (xM là tiếp tuyến )

Mà MI là đường trung tuyến ( I là trung điểm EO )

$\Rightarrow$ MI = EI = OI. (1)

Ta có: Δ EAO vuông tại A (EA là tiếp tuyến )

Mà AI là đường trung tuyến ( I là trung điểm EO )

$\Rightarrow$ AI = IE = IO. (2)

Từ (1) và (2) suy ra M,E,A,O cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh ME + NF = EF và EA.AF = R²

Ta có: ME = AE ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ) 

Ta có: NF = AF ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ) 

Ta có: EA + AF = EF 

Nên ME + NF = EF

Ta có : OE là tia phân giác $\widehat{MOA}$ ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau )

$\Rightarrow$ $\widehat{MOA}$ = 2 $\widehat{AOE}$

Ta có : OF là tia phân giác $\widehat{AON}$ ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau )

$\Rightarrow$ $\widehat{AON}$ = 2 $\widehat{AOF}$

Ta có: $\widehat{MOA}$ + $\widehat{NOA}$

$180^\circ$ ( 2 góc kề bù )

$\Rightarrow$ 2 $\widehat{AOE}$ + 2 $\widehat{AOF}$ = $180^\circ$

$\Rightarrow$ 2($\widehat{AOE}$ + $\widehat{AOF}$ ) = $180^\circ$

$\Rightarrow$ 2$\widehat{EOF}$ = $180^\circ$

$\Rightarrow$ $\widehat{EOF}$ = $\frac{180}{2}$ = $90^\circ$

Nên Δ EOF vuông tại O

Xét Δ EAO và Δ EOF có:

$\widehat{EAO}$ = $\widehat{EOF}$ = $90^\circ$

$\widehat{AEO}$ = $\widehat{OEF}$ ( góc chung )

Nên Δ EAO $\backsim$ Δ EOF ( g.g ) (3)

Xét Δ OAF và Δ EOF có:

$\widehat{OAF}$ = $\widehat{EOF}$ = $90^\circ$

$\widehat{OFA}$ = $\widehat{EFO}$ (góc chung )

Nên Δ OAF $\backsim$ Δ EOF ( g.g ) (4)

Từ (3) và (4) suy ra Δ EAO $\backsim$ Δ OAF

$\Rightarrow$ $\frac{EA}{OA}$ =$\frac{AO}{AF}$ 

Nên AO² = AE . AF

Mà AO = R ( bán kính )

Nên AE.AF = R² 

c) Chứng minh AK $\bot$ MN và H là trung điểm AK

Xét Δ MNF có HK // FN:

$\frac{HK}{NF}$ = $\frac{MK}{MN}$ ( Hệ quả định lý Thales ) (5)

Xét Δ MEN có HK // ME:

$\frac{HK}{ME}$ = $\frac{NK}{MN}$ ( Hệ quả định lý Thales ) (6)

Cộng (5) và (6) theo vế ta được:

$\frac{HK}{NF}$ + $\frac{HK}{ME}$= $\frac{MK}{MN}$ + $\frac{NK}{MN}$

$\Rightarrow$ $\frac{HK}{NF}$ + $\frac{HK}{ME}$ = $\frac{MN}{MN}$ = 1

Nên $\frac{1}{NF}$ + $\frac{1}{ME}$ =$\frac{1}{HK}$

Chứng minh tương tự Δ EFN và Δ EFM , ta có: 

$\frac{AH}{FN}$ = $\frac{AE}{EF}$

$\frac{AH}{ME}$ = $\frac{AF}{EF}$

Cộng theo vế ta được

$\frac{AH}{FN}$ + $\frac{AH}{ME}$ = $\frac{AE}{EF}$ + $\frac{AF}{EF}$

$\Rightarrow$ $\frac{AH}{FN}$ + $\frac{AH}{ME}$ = $\frac{EF}{EF}$ =1

$\Rightarrow$ $\frac{1}{FN}$ + $\frac{1}{ME}$ = $\frac{1}{AH}$

Ta có: $\frac{1}{HK}$ = $\frac{1}{HA}$

$\Rightarrow$ HK = HA 

Nên H là trung điểm KA.

`\color{#FF6F6F}{Q} \color{#FFF0F0}{u} \color{#FFE0E0}{a} \color{#FFD0D0}{n} \color{#FFBABA}{g} \color{#FFA3A3}{i} \color{#FF8A8A}{a} \color{#FF6F6F}{n} \color{#FF5252}{g} \color{#FF3333}{55}`