2) Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH

A) Biết B = 60°, AC = 7cm. Tính độ dài cạnh AB, BC và

AH ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

B) Gọi M là trung điểm của AC, kẻ AD vuông góc BM ( D thuộc BM). Chứng minh bốn điểm A,B,H,D cùng thuộc một đường tròn và sin^2 góc ABM = DM/BM

C) Gọi N là hình chiếu của M trên BC. Tia AD cắt đường thẳng qua C và vuông góc với AC tại E. Chứng minh ba điểm M,N, E thăng hàng

Đáp án :                                                                                                                                 

Tính độ dài các cạnh AB,BC và đường cao AH

Xét ΔABC vuông tại A:                                                                                                      tanB=AB/AC​⟹AB=tan60∘AC​=3​7​≈4 (cm)                                                                 sinB=BC/AC​⟹BC=sin60∘AC​=23​​7​=3​14​≈8 (cm)                                                     Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABC vuông tại A có đường cao AH:

       AH⋅BC=AB⋅AC⟹AH=AB⋅AC/ ​BC=3,5≈4 (cm)

b) Chứng minh 4 điểm A,B,H,D cùng thuộc một đường tròn và sin2ABM=BMDM​

Chứng minh A,B,H,D cùng thuộc một đường tròn:

Vì AH⊥BC tại H nên AHB=90∘⟹H thuộc đường tròn đường kính AB.

Vì AD⊥BM tại D nên ADB=90∘⟹D thuộc đường tròn đường kính AB.

Do đó, 4 điểm A,B,H,D cùng thuộc đường tròn đường kính AB (tâm là trung điểm của AB).

Trong ΔABM vuông tại A có đường cao AD, áp dụng hệ thức lượng ta có:

           AM^2=DM⋅BM

Trong ΔABM vuông tại A, theo định nghĩa tỉ số lượng giác:

      sinABM=BM/AM​⟹sin2ABM=BM^2/AM^2​

     Thay AM^2=DM⋅BM vào biểu thức trên:

sin^2ABM=DM⋅BM​/BM^2=DM/BM​(đpcm)

c) Chứng minh ba điểm M,N,E thẳng hàng

Ta có CE⊥AC mà AB⊥AC⟹CE∥AB.

Xét ΔBMA vuông tại A (AD⊥BM) và ΔEMC:

         BAM=ECM=90∘

AM=MC (M là trung điểm của AC)

AMB=CME (hai góc đối đỉnh) ⟹ΔBMA=ΔEMC (g.c.g) ⟹MB=ME⟹M là trung điểm của BE.

Do ΔBMA=ΔEMC⟹AB=CE.

Mặt khác AB∥CE nên tứ giác ABEC là hình bình hành.

Lại có A=90∘ nên ABEC là hình chữ nhật.

Vì ABEC là hình chữ nhật nên E,C,B tạo thành ΔBCE vuông tại C.

Vì M là trung điểm BE và N là hình chiếu của M trên BC (MN⊥BC), đồng thời EC⊥BC (do ABEC là hình chữ nhật) ⟹MN∥EC.

MN∥EC và M là trung điểm BE nên MN thuộc đường trung bình của tam giác BCE, hay M,N,E