Ta có `(2^(p-2))/p = (x^2+3)/(2y^2 + 3x + 5)`

`2^(p-2) . (2y^2 + 3x + 5) = (x^2 + 3) . p (1)`

+) Với `p  = 2` thì phương trình `(1)` trở thành:

`2^(2-2) . (2y^2 + 3x + 5) = (x^2+3) . 2`

`2y^2 + 3x + 5 = 2x^2 + 6`

`2y^2 = 2x^2 - 3x + 1`

`2x^2 - 3x - 2y^2 + 1 = 0 (2)`

Xét phương trình `(2)` có `Delta = (-3)^2 -  4 . 2 . (-2y^2 + 1) = 9 + 16y^2 - 8 = 16y^2 + 1`

Để phương trình `(2)` nhận nghiệm `x` nguyên thì `sqrt(Delta)` nguyên, khi đó `Delta` là số chính phương

Đặt `Delta = 16y^2 + 1 = k^2 (k in NN)`

Khi đó: `k^2 - 16y^2 = 1`

`(k-4y)(k+4y) = 1`

Ta có `k - 4y <= k + 4y, k + 4y >= 0` nên `{(k - 4y = 1),(k + 4y = 1):}`

`{((k+4y) - (k - 4y) = 1-1),(k - 4y = 1):}`

`{(8y = 0),(k - 4y = 1):}`

`{(y = 0),(k = 1):}` (tm)

Với `y = 0` thì `Delta = 1`, khi đó phương trình `(2)` nhận hai nghiệm phân biệt `x_1 = (3+1)/(2.2) = 1` (tm) và `x_2 = (3-1)/(2.2) = 1/2` (ktm)

+) Với `p = 3` thì phương trình `(1)` trở thành:

`2^(3-2) . (2y^2 + 3x + 5) = (x^2+3).3`

`2 . (2y^2 + 3x + 5) = 3x^2 + 9`

`4y^2 + 6x + 10 = 3x^2 + 9`

`3x^2 - 6x - 1 = 4y^2 = (2y)^2`

Ta có `3x^2 - 6x - 1 equiv -1 equiv 2 (mod 3)` (vô lí vì `(2y)^2` không thể chia `3` dư `2`).

+) Với `p > 3`, suy ra `p` là số nguyên tố lẻ

Vì `p` là số nguyên tố lẻ nên `(p, 2^(p-2)) = 1`, do đó `x^2 + 3 vdots 2^(p-2)`

Vì `p > 3` nên `2^(p-2) vdots 2^(5-2) = 8`

Do đó `x^2 + 3 vdots 8`

`x^2 equiv 5 (mod 8)` (vô lí)

Do đó `p > 3` thì không tồn tại `x,y` thỏa mãn

Vậy, `(p,x,y) = (2,1,0)`