Giải

$-$ Vì $2027$ là nguyên tố, theo đl $Fermat$ nhỏ$:$

 $x^{2027} \equiv x \pmod{2027}, \forall x \in \mathbb{Z}$

$-$ Suy ra:

 $P(x) \equiv x + ax^5 + bx \pmod{2027}$$P(x) \equiv ax^5 + (b + 1)x \pmod{2027}$

$-$ Để $P(x) \vdots 2027, \forall x \in \mathbb{Z}$ thì:

$ax^5 + (b + 1)x \vdots 2027, \forall x \in \mathbb{Z}$

$-$ Thử với các giá trị của $x$:

$→$ Với $x = 1 \Rightarrow a + b + 1 \vdots 2027 \quad (1)$

$→$ Với $x = 2 \Rightarrow 32a + 2(b + 1) \vdots 2027 \Rightarrow 16a + b + 1 \vdots 2027 \quad (2)$

$-$ Lấy $(2)$ trừ $(1)$:

 $15a \vdots 2027$

$-$ Vì:

$\gcd(15, 2027) = 1 \Rightarrow a \vdots 2027 \Rightarrow a = 2027k \quad (k \in \mathbb{Z})$

$-$ Thay:

$a \vdots 2027$ vào $(1)$:$b + 1 \vdots 2027 \Rightarrow b = 2027m - 1 \quad (m \in \mathbb{Z})$

⇒ $\begin{cases} a = 2027k \\ b = 2027m - 1 \end{cases} \quad (k, m \in \mathbb{Z})$

chúc bn học tốt $+$ xin hn