Không mất tính tổng quát, giả sử `y` `>` `x` `(`vì nếu `y` `=` `x` thì `2`$x^{x}$ `=` `z` mà x là số nguyên tố nên `z` có nhiều hơn `2` ước `→` trái với giả thiết `z` là số nguyên tố`)`

Vì `z` là số nguyên tố nên

Trường hợp `1:` `z` `=` `2`

Khi đó`:` `x` $\leq$ `2;` `y` $\leq$ `2` 

mà `x,y` là số nguyên tố nên không có giá trị nào của `x,y` thỏa mãn $x^{y}$ `+` $y^{x}$ `=` `2` 

Trường hợp `2:` `z` `>` `2` hay `z` lẻ

mà $x^{y}$ `+` $y^{x}$ `=` `z` nên một trong `x,y` phải nhận giá trị chẵn

mà `y` `>` `x` nên `y` `=` `2.`

Ta có`:` $x^{2}$ `+` $2^{x}$ `=` `z`

Nếu `x` `=` `3` thì `9` `+` `8` `=` `17` `(`thỏa mãn`)` `⇒` `x` `=` `3;` `y` `=` `2;` `z` `=` `17`

Nếu `x` `>` `3` mà `x` là số nguyên tố nên `x` lẻ `⇒` $2^{x}$ `≡` `-1` `(`mod `3``)`

Vì `x` là số nguyên tố lẻ `>` `3` nên `x` $\not\vdots$ `3` `⇒` $x^{2}$ `≡` `1` `(`mod `3)`

Khi đó`:` $x^{2}$ `+` $2^{x}$ `≡` `0` `(`mod `3``)` hay `z` chia hết cho `3` `(`vô lí vì `z` là số nguyên tố`)`
Vậy `(x,y,z)` `∈` `{(2,3,17)}` thỏa mãn bài toán`.`