Chứng minh rằng với mọi $a,b$ dương ta có
$$ \dfrac{2a^2 + 3b^2}{2a^3+ 3b^3} + \dfrac{2b^2 +3a^2}{2b^3+ 3a^3} \leqslant \dfrac{ 2(a+b)}{a^2+b^2} $$

Question

Chứng minh rằng với mọi $a,b$ dương ta có
$$ \dfrac{2a^2 + 3b^2}{2a^3+  3b^3} + \dfrac{2b^2 +3a^2}{2b^3+ 3a^3} \leqslant \dfrac{ 2(a+b)}{a^2+b^2} $$

quan0911324415 · Answer

Wlog: `a>=b>0`
Xét hiệu:
`(2a^2+3b^2)/(2a^3+3b^3)+(2b^2+3a^2)/(2b^3+3a^3)-(2(a+b))/(a^2+b^2)`
`=((2a^2+3b^2)/(2a^3+3b^3)-(a+b)/(a^2+b^2))+((2b^2+3a^2)/(2b^3+3a^3)-(a+b)/(a^2+b^2))`
`=(-ab(a-b)(2a-3b))/((2a^3+3b^3)(a^2+b^2))+(-ab(a-b)(3a-2b))/((2b^3+3a^3)(a^2+b^2))`
`=-(ab(a-b))/(a^2+b^2)*((2a-3b)/(2a^3+3b^3)+(3a-2b)/(2b^3+3a^3))`
`=-(ab(a-b))/(a^2+b^2)*((a^2-b^2)(12a^2-13ab+12b^2))/((2a^3+3b^3)(2b^3+3a^3))`
`=-(ab(a-b))/(a^2+b^2)*((a^2-b^2)[12(a-13/24b)^2+407/48b^2])/((2a^3+3b^3)(2b^3+3a^3))`
`
Do đó: `(2a^2+3b^2)/(2a^3+3b^3)+(2b^2+3a^2)/(2b^3+3a^3)
Dấu "`=`" xảy ra khi: `a=b`

Chứng minh rằng với mọi $a,b$ dương ta có

\[ \dfrac{2a^2 + 3b^2}{2a^3+ 3b^3} + \dfrac{2b^2 +3a^2}{2b^3+ 3a^3} \leqslant \dfrac{ 2(a+b)}{a^2+b^2} \]

TRẢ LỜI

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tìm kiếm với hình ảnh

Hãy đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí!

Lưu vào

Chứng minh rằng với mọi $a,b$ dương ta có \[ \dfrac{2a^2 + 3b^2}{2a^3+ 3b^3} + \dfrac{2b^2 +3a^2}{2b^3+ 3a^3} \leqslant \dfrac{ 2(a+b)}{a^2+b^2} \]

TRẢ LỜI

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Bạn muốn hỏi điều gì?

Lý do báo cáo vi phạm?

Chứng minh rằng với mọi $a,b$ dương ta có

\[ \dfrac{2a^2 + 3b^2}{2a^3+ 3b^3} + \dfrac{2b^2 +3a^2}{2b^3+ 3a^3} \leqslant \dfrac{ 2(a+b)}{a^2+b^2} \]