Xét `(O)` có `B,C in (O)` nên `OB = OC`, khi đó `triangle OBC` cân tại `O`

Xét `triangle OBC` cân tại `O` có `OI` là đường trung tuyến nên đồng thời cũng là đường cao

Khi đó: `triangle AOI` vuông tại `I` nên `triangle AOI` nội tiếp đường tròn đường kính `AO` (1)

Xét `(O)` có `AM, AN` là hai tiếp tuyến của đường tròn với `M,N` là tiếp điểm nên `AM bot OM` tại `M` và `AN bot ON` tại `N`

Vì `AM bot OM` tại `M` nên `triangle AMO` vuông tại `M`, khi đó `triangle AMO` nội tiếp đường tròn đường kính `AO` (2)

Vì `AN bot ON` tại `N` nên `triangle ANO` vuông tại `N`, khi đó `triangle ANO` nội tiếp đường tròn đường kính `AO` (3)

Từ (1), (2) và (3), suy ra `A,M,N,O,I` cùng thuộc đường tròn đường kính `AO`