Th thì mới học đc uct thì áp dụng luôn thôi chứ lmj nx :))

`+)` Nhận thấy hàm số bậc `0`, ta chuẩn hóa thuần nhất với `a+b+c=3(` bạn có thể tra mạng uct là gì và chuẩn hóa uct `)`

`+)` Khi đó điểm rơi là `a=b=c=1`

_____________

Xét `(b+c)/a=(3-a)/a =3/a -1`

BĐT phụ có dạng: `3/a-1 >= ma+n`

Thay `a=1 =>2 =m+n(` đây là dấu bằng nên đổi từ `>= -> =)`

`=>n=2-m`

`=> 3/a -1 =ma+2-m=m(a-1) +2`

`=>3/a -3=m(a-1)`

`=> (-3(a-1))/a =m(a-1)`

Đồng nhất với `a=1 => -3/a =m`

Thay `a=1=>m=33`

`=>n=5`

`=>`BĐT phụ có dạng `(b+c)/a >= -3a+5`

Tương tự,ta cũng tìm được `(2a+c)/b +(4(a+b))/(c+a) >= 3a+4`

________________________

Lời giải hoàn chỉnh

Ta xét bđt `(b+c)/a =(3-a)/a >= -3a+5`
`<=> (3-a+3a^2-5a)/a >=0`
`<=> (3(a-1)^2)/a >=0(` luôn đúng `a>0)`

Ta xét bđt phụ thứ `2:`
`(2a+c)/b +(4(a+b))/(c+a)>=3a+4`
`<=>(a-b+3)/b +(4(a+b))/(3-b) >=3a+4`
`<=>((a+3)/b-1) +((4a+4b)/(3-b)-3a-4)>=0`
`<=>(a+3-5b)/b  +(3ab+4b-5a)/(3-b) >=0`
`<=> (3(a-1)^2 +3b(a-1)^2 +4b(b-1)^2)/(b(3-b)) >=0(` đúng với `b<=3 ->` đúng do ta đã chuẩn hóa `)`
Khi đó `(b+c)/a+(2a+c)/b +(4(a+b))/(c+a) >= -3a+5+3a+4`
`=> (b+c)/a+(2a+c)/b +(4(a+b))/(c+a) >=9`
Dấu "`=`" xảy ra : `a=b=c`

_________________

Trên là lời giải mình muốn đem đến cho bạn,và b có thể tham khảo link học uct ở dưới bình luận

dưới đây là lời giải thuần túy cho bạn chưa học uct

_________________

Lời giải thuần túy 

Bài ra:
`VT= ((b+c)/a +1) +((2a+c)/b +2) +(4(a+b))/(a+c) -3)`
`VT=(a+b)/a +(2a+2b)/b +(4(a+b))/(a+c) -3 +(c/a+c/b)`
`VT= c(1/a+1/b) +(a+b)(1/a+1/b+1/b+4/(a+c)-3`
`VT>= c. 4/(a+b) +(a+b) . (1+1+1+2)^2/(a+b+b+a+c)-3`
`VT>= (4a)/(a+b) + (25(a+b))/(2a+2b+c) -3`
Đặt `t=(a+b)/c`
`=>VT>= 4/t +(25t)/(2t+1) -3`
`=>VT>= (19t^2+5t+4)/(2t^2+1)`
Ta cần chứng minh `(19t^2+5t+4)/(2t^2+1) >=9`
`<=> 19t^2 +5t+4 >= 18t^2+9t`
`<=> t^2-4t+4 >=0`
`<=> (t-2)^2 >=0(` luôn đúng `)`
Dấu "`=`" xảy ra: `a=b=c`

_______________

Ở đây lí do ta có dòng `1` là kết hợp dấu "`=`" 

Tại `a=b=c=>{((b+c)/a =1),((2a+c)/b =2) ,((4(a+b))/(a+c) =3):}`

Và cái khó cũng ở dòng `3` khi tại sao cô lập phân số có tử số `c` và tách `2/b=1/b+1/b`

`***` cô lập phân số có tử số `c`

Lí do: số lượng `c` ít và hơi ... ra dìa

`***` tách `2/b=1/b+1/b`

Lí do : số `2` không thể áp dụng bđt Svac-xơ - hay bđt cộng mẫu

nên ta chuyển qua tách `2/b=1/b+1/b`