Ta có: `hat{EHB}=hat{DHC}` (hai góc đối đỉnh)

mà `·hat{EHP}=hat{BHP}=hat{EHB}:2` `(HP` là tia phân giác `hat{EHB})`

      `·hat{DHQ}=hat{CHQ}=hat{DHC}:2` `(HQ` là tia phân giác `hat{DHC})`

nên `hat{EHP}=hat{BHP}=hat{DHQ}=hat{CHQ}` `(1)`

Vì `·MP⊥EB` tại `P` (gt)

    `·HE⊥EB` tại E` (CE là đường cao ΔABC)

nên `MP``/``/``HE` (cùng vuông góc với `EB`) suy ra `hat{HPM}=hat{EHP}` (hai góc so le trong) `(2)`

Vì ·`NQ⊥DC` tại `Q` (gt)

    ·`HD⊥DC` tại `D` (`BD` là đường cao `ΔABC)`

nên `NQ``/``/``HD` (cùng vuông góc với `DC)` suy ra `hat{DHQ}=hat{NQH}` (hai góc so le trong) `(3)`

Từ `(1);(2);(3)` nên `hat{HPM}=hat{HQN}`

Xét `ΔPHM và ΔQHN`, có:

`·hat{HPM}=hat{HQN}` `(cmt)`

`·hat{PHM}=hat{QHN}` `(cmt)`

nên `ΔPHM~ΔQHN` `(g-g)`

suy ra `(HM)/(HN)=(HP)/(HQ)` (tỉ số đồng dạng) `(4)`

Xét `ΔHEP` vuông tại `E`, có: `hat{EHP}+hat{EPH}=90^o` `(5)`

Xét `ΔHDQ` vuông tại D, có: hat{DHQ}+hat{DQH}=90^o (6)

Từ `(1);(5);(6)` nên `hat{EPH}=hat{DQH}`

mà `·hat{BPH}=180^o-hat{EPH}` (hai góc kề bù)

      `·hat{QHC}=180^o-hat{DQH}` (hai góc kề bù)

nên `hat{BPH}=hat{QHC}`

Xét `ΔPHB` và `ΔQHC`, có:

`·hat{PHB}=hat{QHC}` `(cmt)`

·`hat{BPH}=hat{CHQ}` `(cmt)`

nên `ΔPHB~ΔQHC` `(g-g)`

suy ra `(HP)/(HQ)=(HB)/(HC)` (tỉ số đồng dạng) `(7)`

Từ `(4)` và `(7)` suy ra `(HM)/(HN)=(HB)/(HC)` hay `(HM)/(HB)=(HN)/(HC)`

Xét `ΔHBC`, có: `(HM)/(HB)=(HN)/(HC)` `(cmt)` nên `MN``/``/``BC` (định lý Thales đảo)

Gọi `I'` là giao điểm `MN` và `BC`

Xét `ΔHBK`, có: `MI'``/``/``BK` nên `(MI')/(BK)=(HI')/(HK)` (hệ quả định lý Thales) `(8)`

Xét `ΔHKC`, có: `NI'``/``/``CK` nên `(NI')/(CK)=(HI')/(HK)` (hệ quả định lý Thales) `(9)`

Từ `(8)` và `(9)` nên `(MI')/(BK)=(NI')/(CK)`

mà `BK=CK` `(K` là trung điểm `BC)`

nên `MI'=NI'`

mà `I'∈MN` nên `I'` là trung điểm `MN`

mà `I` là trung điểm `MN` (gt)

nên `I≡I'` hay `H,I,K` thẳng hàng `(đpcm)`