Đáp án+Giải thích các bước giải:

 Vì P(x) là đa thức bậc 4

Nên đặt P(x) = a$x^{4}$  + b$x^{3}$ + c$x^{2}$ +dx + e ( a $\neq$ 0 )

Vì P(x) chia hết cho x² - 1 

Nên P(1) = a + b + c + d + e = 0(1)

P(-1) = a - b + c - d + e = 0(2)

Mặt khác ta có

P(x) = (x² + 2 ) · Q(x) + 6x - 15 ( gt )

a$x^{4}$  + b$x^{3}$ + c$x^{2}$ +dx + e = ($x^{2}$ + 2 ) · Q(x) + 6x - 15

⇔ ( a$x^{4}$ + 2a$x^{2}$ )  + ( b$x^{3}$ + 2bx ) + ( c$x^{2}$ - 2a$x^{2}$ + 2c - 4a ) + ( dx - 2bx ) + ( e - 2c + 4a ) = ($x^{2}$ + 2 ) · Q(x) + 6x - 15

⇔ a$x^{2}$( $x^{2}$ + 2 )  + b$x^{}$( $x^{2}$ + 2 ) + ( c - 2a )( $x^{2}$ + 2 ) + $x^{}$( d - 2b ) + ( e - 2c + 4a ) =  ($x^{2}$ + 2 ) · Q(x) + 6x - 15

⇔(a$x^{2}$ + b$x^{}$ + c - 2a )( $x^{2}$ + 2 )  + $x^{}$( d - 2b ) + ( e - 2c + 4a ) = ($x^{2}$ + 2 ) · Q(x) + 6x - 15

Đồng nhât hệ số ta được $\left \{ {{d-2b=6 (3)} \atop {e - 2c + 4a= -15 (4)}} \right.$ 

Mặt khác ta có P(2) = 16a + 8b + 4c + 2d + e = 54 (5)

Từ (1) , (2) , (3) , (4) và (5) ta được hệ

$\begin{cases} a + b + c + d + e = 0 (1)\\a - b + c - d + e = 0(2)\\d-2b=6 (3)\\e - 2c + 4a= -15 (4)\\ 16a + 8b + 4c + 2d + e = 54 (5) \end{cases}$

Trừ (5) cho (1) , (2) và (4) theo vế ta được hệ phương trình mới là 

$\begin{cases}15a+7b+3c+d=54(1*)\\15a+9b+3c+3d=54(2*)\\12a+8b+6c+2d=69(3*)\\-2b+d=6(4*) \end{cases}$

⇔$\begin{cases}90a+42b+18c+6d=324(1*)\\30a+18b+6c+6d=108(2*)\\36a+24b+18c+6d=207(3*)\\-12b+6d=36(4*) \end{cases}$

Trừ (1*) cho (2*),(3*),(4*) theo vế ta được :

$\begin{cases} 60a+24b+12c=216(1**)\\54a+18b=117(2**)\\90a+54b+18c=288(3**) \end{cases}$

⇔$\begin{cases} 15a+6b+3c=54(1**)\\54a+18b=117(2**)\\15a+9b+3c=48(3**) \end{cases}$

Trừ (1**) cho (3**) ta được 

-3b = 6 ⇔ b=-2

⇒ a = $\frac{17}{6}$ ( Thay b vào (2**))

⇒ c = $\frac{47}{6}$ ( Thay a,b vào (1**))

⇒ d = 2 ( Thay b vào (3))

⇒ e = $\frac{-32}{3}$  ( Thay a,c vào (4))

Vậy đa thức P(x) =  $\frac{17}{6}$ $x^{4}$ - 2$x^{3}$ + $\frac{47}{6}$$x^{2}$ + 2x + $\frac{-32}{3}$

Suy ra P(18)= $\frac{864994}{3}$ ( mình xin phép làm tắt chứ giải bài này với viết hơi mệt )