Ta có: `1/x^2 + 1/y^2 =(x^2+y^2)/((xy)^2) = x^2 + y^2 = (x-y)^2 + 2xy = (x-y)^2 + 2`

Khi đó: `P = (x-y)^2 + 16/((x-y)^2) + 2 >= 2 . sqrt((x-y)^2 . 16/((x-y)^2)) +2 = 2 . sqrt(16) +2 = 2 . 4 +2 = 10` 

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi `(x-y)^2 = 16/((x-y)^2)`, suy ra `(x-y)^4 = 16`

`(x-y)^2 = 4`

`x - y = 2` hoặc `x - y = -2`

Trường hợp 1: `x - y = 2`

`x = y + 2`

Thay `x = y + 2` vào `xy = 1` được `(y+2)y = 1`

`y^2 + 2y - 1 = 0`

`(y^2 + 2y + 1) - 2 = 0`

`(y+1)^2 - (sqrt(2))^2 = 0`

`(y +1 - sqrt(2)) (y + 1 + sqrt(2)) = 0`

Suy ra: `y = -1 + sqrt(2)` (tm) hoặc `y = -1 - sqrt(2)` (ktm)

Khi đó `x = -1 + sqrt(2) + 2 = 1 + sqrt(2)` (tm)

Trường hợp 2: `x - y = -2`

`y = x +2

Thay `y = x + 2` vào `xy = 1` được `x (x-2) = 1`

`x^2 + 2x = 1`

`x^2 +2x - 1 = 0`

`(x^2 + 2x + 1) - 2 = 0`

`(x+1)^2 - (sqrt(2))^2 = 0`

`(x+1 - sqrt(2)) (x + 1 + sqrt(2)) = 0`

`x = -1 + sqrt(2)` (tm) hoặc `x = -1 - sqrt(2)` (ktm)

Khi đó `y = -1+ sqrt(2) +2 = 1 + sqrt(2)` (tm)

Vậy, `min P = 10` khi và chỉ khi `(x,y) = (1 + sqrt(2), -1 + sqrt(2))` và hoán vị của nó.