Đặt `x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c`, khi đó điều kiện của bài toán trở thành `x^2 + y^2 + z^2 = 1 (0 < x,y,z< 1)`

Khi đó `{(x^2 + y^2 = 1-z^2),(y^2 + z^2 = 1-z^2),(x^2 + z^2 = 1- y^2):}`

Ta có: `(a^2b^2)/(c (a^2 + b^2)) = 1/(c . ((a^2 +b^2)/(a^2b^2))) = 1/(c . (1/a^2 + 1/b^2)) = 1/(1/z . (x^2 + y^2)) = z/(x^2 + y^2)`

Khi đó: `P = x/(y^2 + z^2) + y/(x^2 + z^2) + z/(x^2 + y^2)`

`P = x/(1-x^2) + y/(1-y^2) + z/(1-z^2)`

Với `0 < t < 1`, ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau: `t/(1-t^2) >= (3sqrt(3)t^2 )/2`

`2t >= 3sqrt(3) t^2 . (1-t^2)`

`2 >= 3sqrt(3) t (1-t^2)`

`2 - 3sqrt(3)t + 3sqrt(3) t^3 >= 0`

Đặt `u = sqrt(3) t`, khi đó bất đẳng thức trở thành `u^3 - 3u + 2 >= 0`

`(u^3 - 2u^2 + u) + (2u^2 - 4u + 2) >= 0`

`u (u^2 - 2u + 1) + 2 (u^2 - 2u + 1) >= 0`

`(u+2)(u^2-2u + 1) >= 0`

`(u-1)^2(u+2)>=0`

`(sqrt(3)t - 1)^2 (sqrt(3) t + 2) >= 0` (luôn đúng)

Khi đó: `P = x/(1-x^2) + y/(1-y^2) + z/(1-z^2) >= (3sqrt(3) x^2)/2 + (3sqrt(3) y^2)/2 + (3sqrt(3) z^2)/2 = (3sqrt(3) (x^2 + y^2 + z^2))/2 = (3sqrt(3))/2`

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi `x = y = z = 1/(sqrt(3))`, suy ra `a = b = c = sqrt(3)`

Vậy, `min P = (3sqrt(3))/2` khi và chỉ khi `a = b = c = sqrt(3)`