Giải thích các bước giải:

$a)$ Gọi $O$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$.
Vì $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên tâm đường tròn đi qua ba đỉnh $A, B, C$ (đường tròn ngoại tiếp) là trung điểm $O$ của cạnh huyền $BC$.
Áp dụng định lý Pitago vào $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ta có:
$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$
$= 15^{2} + 20^{2}$
$= 225 + 400$
$= 625$
$\Rightarrow BC = \sqrt{625} = 25cm$
Bán kính $R$ của đường tròn đó là:
$R = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{25}{2} = 12,5cm$

$b)$ Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình vuông $ABCD$.
Vì $ABCD$ là hình vuông nên tâm đường tròn đi qua bốn đỉnh $A, B, C, D$ là giao điểm $O$ của hai đường chéo.
Xét $\triangle ABC$ vuông tại $B$ (do $ABCD$ là hình vuông):
$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2}$
$= 12^{2} + 12^{2}$
$= 144 + 144$
$= 288$
$\Rightarrow AC = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}cm$
Bán kính $R'$ của đường tròn đó là:
$R' = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}cm$