a,

Gọi O là trung điểm BC

Xét ΔBMC vuông tại M có OM là trung tuyến ứng với BC

=> OM=OB=OC (1)

Xét ΔBNC vuông tại N có ON là trung tuyến ứng với BC

=> ON=OB=OC (2)

Từ (1) và (2) => OM=ON=OB=OC

=> B,C,M,N thuộc 1 đường tròn

b,

Xét ΔBHE có cos(HBE)=$\frac{BE}{BH}$  (3)

Xét ΔBMC có cos(MBC)=$\frac{BM}{BC}$  (4)

Từ (3) và (4) => $\frac{BE}{BH} = \frac{BM}{BC} = cos(MBC)$

=> BH.BM=BE.BC

c,

cos(MHC)=$\frac{HM}{HC}$

cos(NHB)=$\frac{NH}{BH}$

=> $\frac{HM}{HC} = \frac{NH}{BH} $

Xét ΔNHM và ΔBHC có

∠NHM=∠BHC

$\frac{HM}{HC} = \frac{NH}{BH} $

=> ΔNHM ᔕ ΔBHC ( c-g-c )

=> $\frac{MH}{HC}=\frac{MN}{BC}$ 

cos(MHC)=$\frac{MN}{BC}$ 

MN=BC.cos(MHC)