Do `2n+1;3n+1` chính phương

Đặt `{(2n+1=a^2),(3n+1=b^2):}`

Ta cần chứng minh `n vdots 8;5`

`***` `n` vdots `8`

Có `2n+1` là số chính phương lẻ `=>2n+1 equiv 1 (mod 8)`

`=>2n vdots 8`

`=>n vdots 4`

`=>3n+1` là số chính phương lẻ

`=>3n+1 equiv 1 (mod 8)`

`=>3n vdots 8`

Mà `(3;8)=1=>n vdots 8(**)`

`***` `n vdots 5`

Có `2n+1+3n+1=5n+2 equiv 2 (mod 5)`

`=> a^2+b^2 equiv 2 (mod 5)`

Mà số chính phương chia `5` có số dư `{0;1;4}`

Thành thử thấy `a^2 equiv 1 (mod5)` và `b^2 equiv 1(mod 5)` thỏa mãn

`=> {(2n vdots 5),(3n vdots 5):}`

`=> n vdots 5`

`=>n vdots 5;8` hay `n vdots 40(đpcm)`