$\displaystyle \text{Đặt } N = 55555^{55555}$

$\displaystyle \Rightarrow N \equiv A \equiv B \equiv C \pmod 9$

$\displaystyle 55555 \equiv 5+5+5+5+5 \equiv 25 \equiv 7 \pmod 9$

$\displaystyle \Rightarrow N \equiv 7^{55555} \pmod 9$

$\displaystyle 7^3 = 343 \equiv 1 \pmod 9$

$\displaystyle 55555 = 3 \cdot 18518 + 1$

$\displaystyle \Rightarrow N \equiv (7^3)^{18518} \cdot 7^1 \equiv 1^{18518} \cdot 7 \equiv 7 \pmod 9$

$\displaystyle \Rightarrow C \equiv 7 \pmod 9 \quad (1)$

$\displaystyle N < (10^5)^{55555} = 10^{277775}$

$\displaystyle \Rightarrow \text{Số chữ số của } N \le 277775$

$\displaystyle \Rightarrow A \le 277775 \cdot 9 = 2499975$

$\displaystyle \Rightarrow B \le 1 + 9 \cdot 6 = 55 \quad (\text{Max tại } A = 1999999)$

$\displaystyle \Rightarrow C \le 4 + 9 = 13 \quad (\text{Max tại } B = 49) \quad (2)$

$\displaystyle \text{Từ } (1) \text{ và } (2), \text{ kết hợp } C \in \mathbb{Z}^+:$

$\displaystyle \Rightarrow C = 7$