$\displaystyle \text{Với } p \text{ là số nguyên tố, } p > 3:$

$\displaystyle \bullet \ p \text{ lẻ } \Rightarrow p-1 \text{ và } p+1 \text{ là hai số chẵn liên tiếp } \Rightarrow (p-1)(p+1) \ \vdots \ 8 \Rightarrow p^2 - 1 \ \vdots \ 8 \quad (1)$

$\displaystyle \bullet \ p \ \not\vdots \ 3 \Rightarrow p^2 \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow p^2 - 1 \ \vdots \ 3 \quad (2)$

$\displaystyle \text{Vì } \gcd(3,8)=1, \text{ từ } (1) \text{ và } (2) \Rightarrow p^2 - 1 \ \vdots \ 24$

$\displaystyle \text{Ta có:}$

$\displaystyle 13p^2 + 2027 = 13p^2 - 13 + 2040 = 13(p^2 - 1) + 2040$

$\displaystyle \begin{cases} 13(p^2 - 1) \ \vdots \ 24 \quad (\text{do } p^2 - 1 \ \vdots \ 24) \\ 2040 = 24 \cdot 85 \ \vdots \ 24 \end{cases}$

$\displaystyle \Rightarrow \left[ 13(p^2 - 1) + 2040 \right] \ \vdots \ 24$

$\displaystyle \Rightarrow (13p^2 + 2027) \ \vdots \ 24 \quad \blacksquare$