Giải thích các bước giải:

$a)$ Xét $\triangle ACD$ vuông tại $C$ 

Có $M$ là trung điểm của cạnh $AD$

Áp dụng tc đường trung tuyến trong tam giác vuông $CD = \dfrac{1}{2}AD$

Mặt khác, vì $M$ là trung điểm của $AD$ nên $MA = \dfrac{1}{2}AD$

$\Rightarrow CM = MA$

$\rightarrow \triangle MCA$ cân tại $M$ (đpcm)

$b)$ Vì $ABCD$ là hbh nên

$\Rightarrow AD // BC \rightarrow AM // CN$

$\Rightarrow AD = BC$

Do $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$ nên

$\Rightarrow AM = \dfrac{1}{2}AD$ và $CN = \dfrac{1}{2}BC$

Do đó, $AM = CN$

Xét tứ giác $AMNC$ ta có:

$AM // CN$

$AM = CN$

$\Rightarrow AMNC$ là hbh (đã c/m đc)

Mặt khác, từ a) ta có $MA = MC$

Khi đó $AMNC$ cũng là hình thoi

Vậy $AC \bot MN$ (đpcm)