Giải thích các bước giải:

$a)$ Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên ta có:

$AB = AC \text{(tính chất tam giác cân)}$

Do $BD$ và $CE$ là hai đường trung tuyến của $\triangle ABC$ nên:

$\Rightarrow D \ \text{là trung điểm của} \ AC \Rightarrow AD = \dfrac{1}{2}AC$

$\Rightarrow E \ \text{là trung điểm của} \ AB \Rightarrow AE = \dfrac{1}{2}AB$

Mà $AB = AC$ nên suy ra $AD = AE$

Xét $\triangle AED$ có:

$AD = AE$

$\Rightarrow \triangle AED$ là tam giác cân tại $A$

$b)$ Ta có:

Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên:

$\Rightarrow \widehat{ABC} = \dfrac{180^{\circ} - \widehat{A}}{2} (1)$

Vì $\triangle AED$ cân tại $A$ nên:

$\Rightarrow \widehat{AED} = \dfrac{180^{\circ} - \widehat{A}}{2} (2)$

Từ (1) và (2) ta có $\widehat{AED} = \widehat{ABC}$

Vì ở vị trí đồng vị khi đó $ED // BC$

Tứ giác $BCDE$ có $ED // BC$ nên $BCDE$ là hình thang

Mặt khác, hình thang $BCDE$ có hai góc kề một đáy bằng nhau

$\Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ 

Vậy tứ giác $BCDE$ là hình thang cân