Giải thích các bước giải:

$a)$ Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$AB < AC$ (theo giả thiết)

Góc đối diện với cạnh $AB$ là $\widehat{C}$

Góc đối diện với cạnh $AC$ là $\widehat{B}$

$\Rightarrow \widehat{C} < \widehat{B}$

$b)$ Xét $\triangle ABH$ và $\triangle MBH$ vuông tại $H$ ta có:

$BH$ là cạnh chung

$AH = MH$ (Vì $H$ là trung điểm của $AM$)

$\Rightarrow \triangle ABH = \triangle MBH$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AB = MB$ (hai cạnh tương ứng)

$c)$ Xét $\triangle AHC$ và $\triangle MHC$ vuông tại $H$ ta có:

$HC$ là cạnh chung

$AH = MH$ (Vì $H$ là trung điểm của $AM$)

$\Rightarrow \triangle AHC = \triangle MHC$ (hai cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AC = MC$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle MBC$ ta có:

$BC$ là cạnh chung 

$AB = MB$ (cmt)

$AC = MC$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle ABC = \triangle MBC$ (cạnh - cạnh - cạnh)

$\Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{BAC}$ (hai góc tương ứng)

Do $\widehat{BAC} = 90^{\circ}$ nên $\widehat{MBC} = 90^{\circ}$

Vậy $\triangle MBC$ vuông tại $B$

$d)$ Xét $\triangle CAM$ có:

$CH \bot AM$ tại $H$ (vì $AH$ là đường cao của $DeltaABC$) nên

$\Rightarrow CH$ là đường cao $1$

$AD \bot MC$ tại $D$ (từ gt) nên

$\Rightarrow AD$ là đường cao $2$

Mà đường thẳng $CH$ và $AD$ cắt nhau tại $N$

$\Rightarrow N$ là giao điểm của hai đường chéo trong $\triangle CAM$

$\Rightarrow N$ là trực tâm của $\triangle CAM$

Khi đó, ta suy ra được đường thẳng đi qua đỉnh thứ ba là đoạn nối từ đỉnh $M$ qua $N$ hay còn gọi là đường cao $3$

$\Rightarrow MN \bot AC$

Mặt khác, ta có $AB \bot AC$ (Do $\triangle ABC$ vuông tại $A$)

Từ hai dữ kiện trên ta chứng minh $MN // AB$

Vậy $N$ là trực tâm của $\triangle CAM$ và $MN // AB$