Cho `{(a;b;c0),(a+b+c=3):}`
Tìm `minP=sqrt{3a+1}+sqrt{3b+1}+sqrt{3c+1}` câu hỏi 8402578 - hoidap247.com

Question

Cho `{(a;b;c>0),(a+b+c=3):}`
Tìm `minP=sqrt{3a+1}+sqrt{3b+1}+sqrt{3c+1}`

Divinity · Answer

Chứng minh BĐT phụ:
`sqrt{3x+1}>={sqrt{10}-1}/3x+1` `(0
`3x+1>=(sqrt{10}-1)^2/9x^2+{2(sqrt{10}-1)}/3x+1`
`3x>=(11-2sqrt{10})/9x^2+{2sqrt{10}-2}/3x`
`x[3-{2sqrt{10}-2}/3-(11-2sqrt{10})/9x]>=0`
`x[{11-2\sqrt{10}}/{3} - {11-2\sqrt{10}}/{9}x] >= 0`
`{11-2\sqrt{10}}/{9} x (3 - x) >= 0` (luôn đúng)
Dấu `=` xảy ra khi `x=0` hoặc `x=3`
Suy ra:
`sqrt{3a+1}>={sqrt{10}-1}/3a+1`
`sqrt{3b+1}>={sqrt{10}-1}/3b+1`
`sqrt{3c+1}>={sqrt{10}-1}/3c+1`
`P>={sqrt{10}-1}/3(a+b+c)+3`
`P>={sqrt{10}-1}/3*3+3`
`P>=2+sqrt{10}`
Dấu `=` xảy ra khi `1` trong `3` số `a,b,c` bằng `3`, `2` số còn lại bằng `0`
Vậy `P_text{min}=2+sqrt{10}`

tnhiido · Answer

Áp dụng bất đẳng thức phụ cho ba số $a, b, c$, ta có:

$\sqrt{3a+1} \ge \frac{\sqrt{10}-1}{3}a + 1$
$\sqrt{3b+1} \ge \frac{\sqrt{10}-1}{3}b + 1$
$\sqrt{3c+1} \ge \frac{\sqrt{10}-1}{3}c + 1$

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên:$P\ge \frac{\sqrt{10}-1}{3}(a+b+c)+3$Thay $a+b+c=3$ vào biểu thức:$P\ge \frac{\sqrt{10}-1}{3}\cdot 3+3=\sqrt{10}-1+3=\sqrt{10}+2$

Cho `{(a;b;c>0),(a+b+c=3):}`

Tìm `minP=sqrt{3a+1}+sqrt{3b+1}+sqrt{3c+1}`

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tìm kiếm với hình ảnh

Hãy đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí!

Lưu vào

Cho `{(a;b;c>0),(a+b+c=3):}` Tìm `minP=sqrt{3a+1}+sqrt{3b+1}+sqrt{3c+1}`

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Bạn muốn hỏi điều gì?

Lý do báo cáo vi phạm?

Cho `{(a;b;c>0),(a+b+c=3):}`

Tìm `minP=sqrt{3a+1}+sqrt{3b+1}+sqrt{3c+1}`