$a)$ 

Vì $ABCD$ là hình thang cân

$\to AD = BC$, $\widehat{ADC} = \widehat{BCD}$

Vì $J$ là trung điểm $CD$ $\to DJ = CJ$

Xét $\triangle ADJ$ và $\triangle BCJ$ có:

+ $AD = BC$ $\text{(cmt)}$

+ $\widehat{ADJ} = \widehat{BCJ}$ $(\text{cmt})$

+ $DJ = CJ$ $\text{(cmt)}$

$\to \triangle ADJ = \triangle BCJ$ (c.g.c)

$\to AJ = BJ$ ($2$ cạnh tương ứng)

$\to \triangle AJB$ cân tại $J$ (đpcm)

$b)$ 

Xét $\triangle AJB$ cân tại $J$ $\text{(cmt)}$ có: $JI$ là trung tuyến ứng với $AB$ (do $I$ là trung điểm $AB$)

$\to JI$ là đường cao

$\to JI \perp AB$ tại $I$

$\to IJ$ là trung trực của $AB$ (đpcm)

$\color{#FF0000}{♡^♡}\color{#FF7F00}{𝖘}\color{#FFD700}{𝖒}\color{#00FF00}{𝖕}\color{#00BFFF}{9}\color{#0000FF}{9}\color{#9400D3}{9}\color{#FF0000}{♡^♡}$